Determine 4 x * e^2 x.

Passo 1

O enunciado nos dá a função f(x)=4xcdot e^2x e pede a derivada f'(x). Para isso, vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia (para derivar o exponencial).

Passo 2

Definimos
u(x)=4x, v(x)=e^2x,
de modo que f(x)=u(x),v(x).

Passo 3

Calculamos as derivadas de cada parte:
u'(x)=4, v'(x)=2,e^2x,
pois ao derivar e^2x aplicamos a regra da cadeia.

Passo 4

Pela regra do produto,
f'(x)=u'(x),v(x)+u(x),v'(x)

Passo 5

Substituindo u, u', v e v':
f'(x) =4cdot e^2x +4xcdotl(2,e^2xr) =4e^2x+8x,e^2x
Fatorando e^2x, obtemos
f'(x)=e^2x,(4+8x)

Resposta

f'(x)=e^2x,(8x+4)

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