Nos exercícios 31-40, esboce a região de integração, inverta a ordem de integração e calcule a integral.
integral0^2 integralx^2 2 y^2 sen x y d y d x

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a região de integração, inverter a ordem de integração e calcular a integral dupla
integral0^2integralx^22y^2sin(xy),dy,dx
O conteúdo principal é o Teorema de Fubini para inverter ordem em integrais duplas e técnicas de integração (substituição e integração por partes simples).

Passo 2

A região D no plano xy é dada por
D=(x,y)mid 0<= x<=2,;x<= y<=2
Isso corresponde ao triângulo de vértices (0,0), (0,2) e (2,2), limitado pela reta y=x, pelo eixo x=0 e pela reta horizontal y=2. Na ordem original, primeiro varre-se y de y=x até y=2 e depois x de 0 a 2.

Passo 3

Para inverter a ordem, observamos que em D o y varia de 0 até 2 e, para cada y fixo, x vai de 0 até y. Assim a integral fica
integraly=0^2integralx=0^y2y^2sin(xy),dx,dy

Passo 4

Primeiro integramos em x, tratando y como constante.
integral0^y2y^2sin(xy),dx =2y^2integral0^ysin(xy),dx
Fazendo u=xy ( du=y,dx), tem-se
integral0^ysin(xy),dx =integralu=0^u=y^2sin uy,du =1yl[-cos ur]0^y^2 =1-cos(y^2)y
Logo o resultado da integral interna é
2y^2cdot1-cos(y^2)y =2yl(1-cos(y^2)r)

Passo 5

Agora calculamos a integral em y:
integral0^22yl(1-cos(y^2)r),dy =2integral0^2y,dy -2integral0^2ycos(y^2),dy
Para a primeira parte,
2integral0^2y,dy =2cdoty^22|0^2 =2cdot2 =4
Para a segunda, use v=y^2, dv=2y,dy:
integral0^2ycos(y^2),dy =12integral0^4cos v,dv =12l[sin vr]0^4 =sin(4)2
Multiplicando por 2 sin(4). Portanto a integral total é
4 - sin(4)

Resposta

4 - sin(4)

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