Determine:
(1pt) integral0^pi4 tan ^99 x sec ^4 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral0^pi4 tan^99x ,sec^4x ,dx
O conteúdo envolvido é a integração de potências de funções trigonométricas usando substituição. Vamos usar a substituição u=tan x, pois sabemos que ddx(tan x)=sec^2x.

Passo 2

Reescrevemos
sec^4x = sec^2x cdot sec^2x
para isolar um fator sec^2x,dx na substituição e usar a identidade
sec^2x = 1 + tan^2x
Assim a integral fica
integral0^pi4 tan^99x,sec^2x;l(sec^2x,dxr) = integral0^pi4 tan^99x,(1+tan^2x),sec^2x,dx

Passo 3

Fazendo u=tan x implica du=sec^2x,dx. Quando x=0, u=0; quando x=tfracpi4, u=1. A integral em u fica
integral0^1 u^99(1+u^2),du

Passo 4

Expandindo e integrando termo a termo,
integral0^1 l(u^99+u^101r),du = [u^100100 + u^102102]0^1 = 1100 + 1102
Somando as frações:
1100 + 1102 = 102 + 100100 cdot 102 = 20210200 = 1015100

Resposta

1015100

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