Considere o operador linear que projeta o vetor , no plano onde a, b in R,
isto é, P(x, y, z, t, w)=(x, y, a x+b y, 0,0).
(a) (O, 6) Calcule a dimensão do núcleo e a dimensão da imagem de P e exiba uma base para cada um deles.
(b) (O, 6) Encontre o polinômio característico de P.
(c) (O, 6) Mostre que P é diagonalizável.
Passo 1
O enunciado define P:R^5toR^5 por
P(x,y,z,t,w)=(x,y,a x+b y,0,0)
Vamos usar o Teorema do Núcleo e Imagem para (a), depois calcular o polinômio característico em (b) e, por fim, verificar a diagonalização em (c).
Passo 2
Para achar , note que
Logo
Passo 3
Para resolvemos , ou seja
sem restrição em . Portanto
e .
Passo 4
Em base adequada, a matriz de fica . Logo os autovalores são (algébrica ) e (algébrica ).
O polinômio característico é
Passo 5
Os autoespaços têm dimensão igual às multiplicidades algébricas (2 para lambda=1 e 3 para lambda=0), totalizando 5 vetores independentes. Assim P é diagonalizável.
Resposta
(a) dimker(P)=3 com base (0,0,1,0,0),,(0,0,0,1,0),,(0,0,0,0,1); dimIm(P)=2 com base (1,0,a,0,0),,(0,1,b,0,0).
(b) chiP(lambda)=(lambda-1)^2,lambda^3
(c) P é diagonalizável, pois existem 5 auto-vetores independentes (dimensão total igual a 5).