Considere o operador linear P que projeta o vetor (x, y, z, t, w) in R^5, no plano pi:cz=a x+b y t=0 w=0, onde a, b in R,
isto é, P(x, y, z, t, w)=(x, y, a x+b y, 0,0).
(a) (O, 6) Calcule a dimensão do núcleo e a dimensão da imagem de P e exiba uma base para cada um deles.
(b) (O, 6) Encontre o polinômio característico de P.
(c) (O, 6) Mostre que P é diagonalizável.

Passo 1

O enunciado define P:R^5toR^5 por
P(x,y,z,t,w)=(x,y,a x+b y,0,0)
Vamos usar o Teorema do Núcleo e Imagem para (a), depois calcular o polinômio característico em (b) e, por fim, verificar a diagonalização em (c).

Passo 2

Para achar , note que
Logo

Passo 3

Para resolvemos , ou seja
sem restrição em . Portanto
e .

Passo 4

Em base adequada, a matriz de fica . Logo os autovalores são
(algébrica ) e (algébrica ).
O polinômio característico é

Passo 5

Os autoespaços têm dimensão igual às multiplicidades algébricas ( 2 para lambda=1 e 3 para lambda=0), totalizando 5 vetores independentes. Assim P é diagonalizável.

Resposta

(a) dimker(P)=3 com base (0,0,1,0,0),,(0,0,0,1,0),,(0,0,0,0,1);
dimIm(P)=2 com base (1,0,a,0,0),,(0,1,b,0,0).
(b) chiP(lambda)=(lambda-1)^2,lambda^3
(c) P é diagonalizável, pois existem 5 auto-vetores independentes (dimensão total igual a 5).

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