Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.
Os extremos de f(x, y) sujeita à restrição g(x, y)=0 ocorrem em pontos nos quais $\boldsymbol{\nabla} f=\boldsymbol{\nabla} g.

Passo 1

O enunciado dá a afirmação: "Os extremos de f(x,y) sujeitos à restrição g(x,y)=0 ocorrem em pontos nos quais \boldsymbol{\nabla} f=\boldsymbol{\nabla} g".
O que nos pedem: decidir se essa afirmação é verdadeira ou falsa e explicar por quê.
Informações relevantes dadas (implícitas no enunciado): a restrição é a curva/superfície g(x,y)=0; procura-se extremos de f somente entre os pontos que satisfazem essa restrição.

Passo 2

Primeiro, o que é \boldsymbol{\nabla} f e qual é seu significado geométrico?
  • Por definição, \boldsymbol{\nabla} f=(\partial f/\partial x,\;\partial f/\partial y).
  • Geometricamente, \boldsymbol{\nabla} f é um vetor normal às curvas de nível de f (isto é, às curvas onde f é constante). O mesmo vale para \boldsymbol{\nabla} g em relação às curvas de nível de g.
Essas propriedades são úteis porque, ao buscar extremos de f sobre a curva g(x,y)=0, os movimentos permitidos são apenas os tangentes à curva g=0. Numa solução ótima, pequenas variações tangentes à curva não devem alterar f, então a derivada direcional de f em qualquer vetor tangente deve ser zero.

Passo 3

Enunciando a condição correta (método de multiplicadores de Lagrange) e dando uma prova curta e didática:
  • Seja p=(x_0,y_0) um ponto de extremo de f sob a restrição g=0. Suponha que \boldsymbol{\nabla} g(x_0,y_0)\neq\boldsymbol{0} (caso regular).
  • O espaço tangente à curva g=0 em p é formado por vetores v tais que \boldsymbol{\nabla} g(p)\cdot v=0.
  • Como p é extremo sujeito à restrição, a derivada direcional de f em qualquer vetor tangente v deve ser zero: \boldsymbol{\nabla} f(p)\cdot v=0 para todo v com \boldsymbol{\nabla} g(p)\cdot v=0.
  • Se um vetor é ortogonal a todo vetor tangente da curva, então ele é paralelo ao vetor normal \boldsymbol{\nabla} g(p). Logo existe um escalar \lambda tal que
\boldsymbol{\nabla} f(p)=\lambda\,\boldsymbol{\nabla} g(p).
Esse \lambda é o chamado multiplicador de Lagrange. Esta é a condição necessária (sob regularidade) para extremos sujeitos a uma restrição g=0.

Passo 4

Comparando a condição correta com a afirmação do enunciado:
  • A afirmação dada exige \boldsymbol{\nabla} f=\boldsymbol{\nabla} g, ou seja, exige que o escalar \lambda acima seja exatamente 1.
  • A condição correta exige apenas que \boldsymbol{\nabla} f seja proporcional a \boldsymbol{\nabla} g (algum \lambda\in\mathbb{R}), não necessariamente igual. Portanto a afirmação é demasiado forte e, em geral, falsa.

Passo 5

Vou mostrar um contraexemplo concreto e simples (para ficar na prática e visualizar o que falha):
Considere
f(x,y)=x,\qquad g(x,y)=x^{2}+y^{2}-1.
A restrição g(x,y)=0 é o círculo unitário. Sobre esse círculo, x atinge máximo 1 em (1,0) e mínimo -1 em (-1,0) (é fácil ver porque -1\le x\le 1 no círculo).
Calcule as gradientes:
\boldsymbol{\nabla} f=(1,0),\qquad \boldsymbol{\nabla} g=(2x,2y).
Em (1,0) temos \boldsymbol{\nabla} f=(1,0) e \boldsymbol{\nabla} g=(2,0). Aqui \boldsymbol{\nabla} f e \boldsymbol{\nabla} g são paralelos, mas não iguais: \boldsymbol{\nabla} f=\tfrac{1}{2}\,\boldsymbol{\nabla} g. Portanto esse ponto é um extremo sujeito à restrição, mas não satisfaz \boldsymbol{\nabla} f=\boldsymbol{\nabla} g. Isso mostra explicitamente que a afirmação do enunciado é falsa.

Passo 6

Observações finais e exceções:
  • A igualdade \boldsymbol{\nabla} f=\boldsymbol{\nabla} g pode ocorrer em casos particulares (por exemplo quando o multiplicador \lambda happen ser 1), mas isso é um caso especial, não a regra.
  • Há ainda o caso degenerado em que \boldsymbol{\nabla} g(p)=\boldsymbol{0}. Nesse caso a dedução anterior (existência de \lambda) falha e é preciso analisar separadamente; pontos com \boldsymbol{\nabla} g=\boldsymbol{0} na restrição são chamados pontos singulares da restrição e requerem cuidado. Mas isso não salva a afirmação geral de que sempre \boldsymbol{\nabla} f=\boldsymbol{\nabla} g.

Resposta

Falsa.

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