Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.
Os extremos de
sujeita à restrição
ocorrem em pontos nos quais $\boldsymbol{\nabla} f=\boldsymbol{\nabla} g.
Os extremos de
Passo 1
O enunciado dá a afirmação: "Os extremos de
sujeitos à restrição
ocorrem em pontos nos quais
".
O que nos pedem: decidir se essa afirmação é verdadeira ou falsa e explicar por quê.
Informações relevantes dadas (implícitas no enunciado): a restrição é a curva/superfície ; procura-se extremos de
somente entre os pontos que satisfazem essa restrição.
O que nos pedem: decidir se essa afirmação é verdadeira ou falsa e explicar por quê.
Informações relevantes dadas (implícitas no enunciado): a restrição é a curva/superfície
Passo 2
Primeiro, o que é
e qual é seu significado geométrico?
- Por definição,
. - Geometricamente,
é um vetor normal às curvas de nível de (isto é, às curvas onde é constante). O mesmo vale para em relação às curvas de nível de .
Essas propriedades são úteis porque, ao buscar extremos de
sobre a curva
, os movimentos permitidos são apenas os tangentes à curva
. Numa solução ótima, pequenas variações tangentes à curva não devem alterar
, então a derivada direcional de
em qualquer vetor tangente deve ser zero.
Passo 3
Enunciando a condição correta (método de multiplicadores de Lagrange) e dando uma prova curta e didática:
- Seja
um ponto de extremo de sob a restrição . Suponha que (caso regular). - O espaço tangente à curva
em é formado por vetores tais que . - Como
é extremo sujeito à restrição, a derivada direcional de em qualquer vetor tangente deve ser zero: para todo com . - Se um vetor é ortogonal a todo vetor tangente da curva, então ele é paralelo ao vetor normal
. Logo existe um escalar tal que
Esse
é o chamado multiplicador de Lagrange. Esta é a condição necessária (sob regularidade) para extremos sujeitos a uma restrição
.
Passo 4
Comparando a condição correta com a afirmação do enunciado:
- A afirmação dada exige
, ou seja, exige que o escalar acima seja exatamente . - A condição correta exige apenas que
seja proporcional a (algum ), não necessariamente igual. Portanto a afirmação é demasiado forte e, em geral, falsa.
Passo 5
Vou mostrar um contraexemplo concreto e simples (para ficar na prática e visualizar o que falha):
Considere
Considere
A restrição
é o círculo unitário. Sobre esse círculo,
atinge máximo
em
e mínimo
em
(é fácil ver porque
no círculo).
Calcule as gradientes:
Calcule as gradientes:
Em
temos
e
. Aqui
e
são paralelos, mas não iguais:
. Portanto esse ponto é um extremo sujeito à restrição, mas não satisfaz
. Isso mostra explicitamente que a afirmação do enunciado é falsa.
Passo 6
Observações finais e exceções:
- A igualdade
pode ocorrer em casos particulares (por exemplo quando o multiplicador happen ser ), mas isso é um caso especial, não a regra. - Há ainda o caso degenerado em que
. Nesse caso a dedução anterior (existência de ) falha e é preciso analisar separadamente; pontos com na restrição são chamados pontos singulares da restrição e requerem cuidado. Mas isso não salva a afirmação geral de que sempre .
Resposta
Falsa.