Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Se a curva parametrizada
satisfaz
, então ela tem uma tangente horizontal quando
.
Se a curva parametrizada
Passo 1
O enunciado diz que, para a curva parametrizada
se satisfaz
então ela tem tangente horizontal em
. O conteúdo aqui é cálculo da inclinação da reta tangente em curvas paramétricas; usaremos a fórmula de
.
Passo 2
Para curva paramétrica, a inclinação da reta tangente em
é
desde que
. Portanto a curva tem tangente horizontal se e somente se
e
. A afirmação só exige
sem garantir
, logo ela não vale em geral.
Passo 3
Demonstração por contraexemplo. Seja
Então
de onde em
obtemos
e
. Assim
não está definido, e de fato o traço da curva tem um cúspide em vez de uma reta horizontal.
Resposta
Falsa.