Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Se a curva parametrizada x=f(t), y=g(t) satisfaz g^prime(1) =0, então ela tem uma tangente horizontal quando t=1.

Passo 1

O enunciado diz que, para a curva parametrizada
x = f(t), y = g(t),
se satisfaz g'(1)=0 então ela tem tangente horizontal em t=1. O conteúdo aqui é cálculo da inclinação da reta tangente em curvas paramétricas; usaremos a fórmula de dy/dx.

Passo 2

Para curva paramétrica, a inclinação da reta tangente em t é
dydx ;=;g'(t)f'(t),
desde que f'(t)neq0. Portanto a curva tem tangente horizontal se e somente se
g'(t)=0 e f'(t)neq0. A afirmação só exige g'(1)=0 sem garantir f'(1)neq0, logo ela não vale em geral.

Passo 3

Demonstração por contraexemplo. Seja
f(t)=(t-1)^3, g(t)=(t-1)^2
Então
f'(t)=3(t-1)^2, g'(t)=2(t-1),
de onde em t=1 obtemos f'(1)=0 e g'(1)=0. Assim dy/dx|t=1=0/0 não está definido, e de fato o traço da curva tem um cúspide em vez de uma reta horizontal.

Resposta

Falsa.

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