Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
13. \int_{0}^{3} e^{x^{2}} d x=\int_{0}^{5} e^{x^{2}} d x+\int_{5}^{3} e^{x^{2}} d x.

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar se a igualdade
\int_{0}^{3} e^{x^{2}}\,dx = \int_{0}^{5} e^{x^{2}}\,dx + \int_{5}^{3} e^{x^{2}}\,dx
é verdadeira ou falsa. Se for verdadeira, explicar por quê; se for falsa, explicar ou dar um contraexemplo.
Informações dadas: a função integrada é e^{x^{2}} e os limites das integrais são 0, 3 e 5. Não há outros dados ocultos — a função e^{x^{2}} é contínua em todo \mathbb{R}, logo integrável nos intervalos mencionados.

Passo 2

Lembrando uma propriedade básica das integrais definidas: para qualquer função integrável f e quaisquer números reais a,b,c vale
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = \int_{a}^{c} f(x)\,dx + \int_{c}^{b} f(x)\,dx.
Essa propriedade expressa a aditividade da integral quando dividimos o intervalo [a,b] em [a,c] e [c,b]. Ela é válida mesmo que c não esteja entre a e b, desde que usemos a convenção de sinais para integrais com limites invertidos, isto é
\int_{u}^{v} f(x)\,dx = -\int_{v}^{u} f(x)\,dx.

Passo 3

Apliquemos essas propriedades ao nosso caso. Comecemos manipulando o lado direito da igualdade proposta:
\int_{0}^{5} e^{x^{2}}\,dx + \int_{5}^{3} e^{x^{2}}\,dx.
Usando \int_{5}^{3} e^{x^{2}}\,dx = -\int_{3}^{5} e^{x^{2}}\,dx, obtemos
\int_{0}^{5} e^{x^{2}}\,dx + \int_{5}^{3} e^{x^{2}}\,dx = \int_{0}^{5} e^{x^{2}}\,dx - \int_{3}^{5} e^{x^{2}}\,dx.

Passo 4

Agora usamos a aditividade com a=0, c=3, b=5:
\int_{0}^{5} e^{x^{2}}\,dx = \int_{0}^{3} e^{x^{2}}\,dx + \int_{3}^{5} e^{x^{2}}\,dx.
Rearranjando essa igualdade temos
\int_{0}^{3} e^{x^{2}}\,dx = \int_{0}^{5} e^{x^{2}}\,dx - \int_{3}^{5} e^{x^{2}}\,dx.
Comparando com o resultado do Passo 3 vemos que o lado direito que começamos a manipular é exatamente igual a \int_{0}^{3} e^{x^{2}}\,dx. Portanto as duas expressões coincidem.
Intuição geométrica rápida: integrar de 0 até 5 soma a área de 0 a 3 com a área de 3 a 5. Integrar de 5 até 3 devolve (com sinal negativo) a área de 3 a 5. Somando essas duas contribuições, a porção de 3 a 5 cancela, sobrando só a área de 0 a 3.

Passo 5

Conclusão formal: usando a aditividade da integral e a regra de mudança de sinal quando invertemos os limites, a igualdade dada é verdadeira para f(x)=e^{x^{2}} (e, na verdade, para qualquer função integrável).

Resposta

Verdadeira

Exercícios relacionados