Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
13.
.
13.
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar se a igualdade
é verdadeira ou falsa. Se for verdadeira, explicar por quê; se for falsa, explicar ou dar um contraexemplo.
Informações dadas: a função integrada é
e os limites das integrais são
,
e
. Não há outros dados ocultos — a função
é contínua em todo
, logo integrável nos intervalos mencionados.
Passo 2
Lembrando uma propriedade básica das integrais definidas: para qualquer função integrável
e quaisquer números reais
vale
Essa propriedade expressa a aditividade da integral quando dividimos o intervalo
em
e
. Ela é válida mesmo que
não esteja entre
e
, desde que usemos a convenção de sinais para integrais com limites invertidos, isto é
Passo 3
Apliquemos essas propriedades ao nosso caso. Comecemos manipulando o lado direito da igualdade proposta:
Usando
, obtemos
Passo 4
Agora usamos a aditividade com
,
,
:
Rearranjando essa igualdade temos
Comparando com o resultado do Passo 3 vemos que o lado direito que começamos a manipular é exatamente igual a
. Portanto as duas expressões coincidem.
Intuição geométrica rápida: integrar de
até
soma a área de
a
com a área de
a
. Integrar de
até
devolve (com sinal negativo) a área de
a
. Somando essas duas contribuições, a porção de
a
cancela, sobrando só a área de
a
.
Passo 5
Conclusão formal: usando a aditividade da integral e a regra de mudança de sinal quando invertemos os limites, a igualdade dada é verdadeira para
(e, na verdade, para qualquer função integrável).
Resposta
Verdadeira