Exercício 17. Considere o campo F(x, y)=(y,-x) sobre a cicloide
\alpha(t)=(t-\operatorname{sen}(t), 1-\cos (t)), \operatorname{com} t \in[0,2 \pi]
a) Calcule o trabalho de F ao longo da cicloide;
b) Use o Teorema de Green para calcular a área delimitada pela cicloide e pelo eixo 0 x;

Passo 1

O enunciado pede duas coisas e fornece a curva e o campo vetorial. Perguntas e dados importantes:
  • Pergunta (a): Calcular o trabalho do campo F(x,y)=(y,-x) ao longo da cicloide \alpha(t)=(t-\sin t,\;1-\cos t), com t\in[0,2\pi].
  • Pergunta (b): Usar o Teorema de Green para calcular a área limitada pela cicloide e pelo eixo 0x (ou seja, a área sob uma campanha completa da cicloide entre x=0 e x=2\pi).
  • Dado da curva (retirado do enunciado): \alpha(t)=(t-\sin t,\;1-\cos t), t\in[0,2\pi].
  • Dado do campo (retirado do enunciado): F(x,y)=(y,-x).

Passo 2

Como calcular o trabalho de um campo vetorial ao longo de uma curva parametrizada: se \alpha(t) é uma parametrização da curva com t em [a,b], então o trabalho (linha integral de F ao longo da curva) é
\int_{C} F\cdot d\mathbf r=\int_{a}^{b} F(\alpha(t))\cdot \alpha'(t)\,dt.
Aqui F(\alpha(t)) significa substituir (x,y)=\alpha(t) em F, e \alpha'(t) é a derivada componente a componente. Vou aplicar isso diretamente à nossa curva e ao nosso campo.

Passo 3

Calcule \alpha'(t) e F(\alpha(t)):
\alpha(t)=(t-\sin t,\;1-\cos t)\quad\Rightarrow\quad \alpha'(t)=(1-\cos t,\;\sin t).
Substituindo na expressão do campo:
F(\alpha(t))=\big(1-\cos t,\;-(t-\sin t)\big).
Agora monte o produto escalar F(\alpha(t))\cdot\alpha'(t):
F(\alpha(t))\cdot\alpha'(t)=(1-\cos t)(1-\cos t)+\sin t\cdot\big(-(t-\sin t)\big).
Vou simplificar esse integrando passo a passo.

Passo 4

Simplificação do integrando:
(1-\cos t)^2-\sin t\,(t-\sin t)=1-2\cos t+\cos^2 t - t\sin t +\sin^2 t.
Usando \cos^2 t+\sin^2 t=1 (identidade trigonométrica fundamental), obtemos
1-2\cos t+\cos^2 t+\sin^2 t-t\sin t = 1-2\cos t + 1 - t\sin t = 2(1-\cos t)-t\sin t.
Portanto o trabalho é
\int_{0}^{2\pi}\big(2(1-\cos t)-t\sin t\big)\,dt.

Passo 5

Agora integramos termo a termo. Primeiro
\int_{0}^{2\pi} 2(1-\cos t)\,dt = 2\bigg[ t-\sin t\bigg]_{0}^{2\pi} = 2(2\pi-0)=4\pi,
pois \sin(0)=\sin(2\pi)=0.
O segundo termo precisa de integração por partes:
\int_{0}^{2\pi} t\sin t\,dt.
Tomamos u=t, dv=\sin t\,dt então du=dt, v=-\cos t. Assim
\int t\sin t\,dt = -t\cos t + \int \cos t\,dt = -t\cos t + \sin t.
Avaliado entre 0 e 2\pi:
\big(-t\cos t + \sin t\big)\Big|_{0}^{2\pi} = \big(-2\pi\cos(2\pi)+\sin(2\pi)\big)-\big(0\cdot\cos0+\sin0\big) = -2\pi.
Portanto \int_{0}^{2\pi} t\sin t\,dt = -2\pi. No integrando original aparece -t\sin t, logo
\int_{0}^{2\pi} -t\sin t\,dt = -(-2\pi)=2\pi.
Somando as duas parcelas:
\text{trabalho} = 4\pi + 2\pi = 6\pi.

Passo 6

Agora a parte (b): usar o Teorema de Green para obter a área delimitada pela cicloide e pelo eixo 0x.
Teorema de Green (forma prática para área): se C é uma curva fechada simples e orientada positivamente (sentido anti-horário) e D é a região que ela limita, então
\iint_{D} 1\,dA = \iint_{D}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dA = \oint_{C} P\,dx + Q\,dy.
Escolhemos P=0 e Q=x. Aqui \partial Q/\partial x=1 e \partial P/\partial y=0, então a integral de contorno de x\,dy ao longo da curva fechada e orientada no sentido anti-horário dá a área:
\text{Área}(D)=\oint_{C} x\,dy.Á

Passo 7

Parâmetros do contorno C: a região D é limitada pela arco da cicloide C_1 (da esquerda para a direita, \alpha(t) com t\in[0,2\pi]) e pelo segmento do eixo x que une (2\pi,0) a (0,0) (chamo-o C_2). Portanto C=C_1+C_2. Vou calcular \oint_C x\,dy=\int_{C_1} x\,dy+\int_{C_2} x\,dy.
Para C_1 (cicloide, t\in[0,2\pi]):
x(t)=t-\sin t,\qquad y(t)=1-\cos t,\qquad dy=\sin t\,dt.
Então
\int_{C_1} x\,dy = \int_{0}^{2\pi} (t-\sin t)\sin t\,dt = \int_{0}^{2\pi} t\sin t\,dt - \int_{0}^{2\pi}\sin^2 t\,dt.
Já calculamos \int_{0}^{2\pi} t\sin t\,dt = -2\pi. E
\int_{0}^{2\pi}\sin^2 t\,dt = \pi
(pois a média de \sin^2 é 1/2 em um período). Portanto
\int_{C_1} x\,dy = -2\pi - \pi = -3\pi.
Para C_2 (segmento do eixo x de (2\pi,0) para (0,0)): aqui y=0 então dy=0 e
\int_{C_2} x\,dy = 0.
Assim \oint_{C} x\,dy = -3\pi para a orientação que corresponde a seguir C_1 de t=0 a 2\pi e depois C_2 de 2\pi a 0.

Passo 8

Cuidado com orientação: a fórmula da área exige que C seja percorrida no sentido anti-horário (positiva). A parametrização que usamos (cicloide t de 0 a 2\pi e depois segmento de volta) percorre a fronteira no sentido horário, o que dá um sinal negativo. Portanto a área positiva é o negativo da integral obtida:
\text{Área} = -\oint_{C} x\,dy = -(-3\pi)=3\pi.Á
(Alternativamente, percebe-se que a magnitude é 3\pi; este é o resultado clássico para uma campanha da cicloide gerada por círculo de raio 1.)

Resposta

a) \;6\pi
b) \;3\pi

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