Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Se
existe, então
.
Se
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a afirmação a seguir é verdadeira ou falsa, e justificar:
Afirmativa: “Se existe, então
.”
Afirmativa: “Se
Informações dadas:
- Está assumido que existe a derivada de
no ponto , isto é, existe (um número real). - A pergunta é se isso implica que
é contínua em , ou seja, se o limite de quando tende a é igual ao valor .
Passo 2
Lembrando as definições (bem devagarinho, passo a passo):
Definição de derivada em
:
quando esse limite existe e é um número real. Aqui:
-
é o coeficiente angular da “reta secante” entre e ; - a existência do limite significa que, ao aproximar
de por qualquer lado, essa razão tende ao mesmo número finito .
Definição de continuidade em
:
Ou seja, os valores de
se aproximam de
quando
se aproxima de
.
Nosso objetivo é usar a existência de
para deduzir que
.
Passo 3
Fórmula algebraica útil (válida para
):
Essa identidade é só fatorar a diferença; é exata sempre que o denominador fizer sentido.
Agora vamos tomar limite em ambos os lados quando
. Primeiro, verifique os limites das duas partes no produto:
-
, porque claramente a diferença vai a zero. - Pela hipótese,
, que é um número real (finito).
Como temos dois limites finitos, podemos usar a propriedade de limites que diz: se
e
com
finitos, então
.
Aplicando isso ao produto acima,
Portanto
, o que implica
Esse cálculo mostra passo a passo por que a existência da derivada em
força a continuidade em
.
Passo 4
Comentário adicional importante (para fixar o conceito):
- Conclusão: a afirmação é verdadeira. Em palavras: “derivável em um ponto” implica “contínua nesse ponto”.
- A recíproca é falsa: continuidade não garante derivabilidade. Exemplo clássico: a função
em é contínua (tem ) mas não é diferenciável em , porque as derivadas laterais não coincidem (limite da razão à direita é e à esquerda é ). Esse exemplo mostra que continuidade não implica derivabilidade, mas derivabilidade implica continuidade.
Passo 5
Resumo prático para prova: ao ver a hipótese "existe
", lembre-se de que você tem a identidade
e, ao passar ao limite, o fator
vai a zero enquanto a razão vai a
; produto dá zero, logo
. Isso é curto, direto e funciona sempre que a derivada for um número finito.
Resposta
Verdadeiro.