Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Se f^{\prime}(r)\ existe, então \lim _{x \rightarrow r} f(x)=f(r)\\.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a afirmação a seguir é verdadeira ou falsa, e justificar:
Afirmativa: “Se f'(r) existe, então \lim_{x\to r} f(x)=f(r).”
Informações dadas:
  • Está assumido que existe a derivada de f no ponto r, isto é, f'(r) existe (um número real).
  • A pergunta é se isso implica que f é contínua em r, ou seja, se o limite de f(x) quando x tende a r é igual ao valor f(r).

Passo 2

Lembrando as definições (bem devagarinho, passo a passo):
Definição de derivada em r:
f'(r)=\lim_{x\to r}\frac{f(x)-f(r)}{x-r},
quando esse limite existe e é um número real. Aqui:
  • \dfrac{f(x)-f(r)}{x-r} é o coeficiente angular da “reta secante” entre x e r;
  • a existência do limite significa que, ao aproximar x de r por qualquer lado, essa razão tende ao mesmo número finito f'(r).
Definição de continuidade em r:
\lim_{x\to r} f(x)=f(r).
Ou seja, os valores de f(x) se aproximam de f(r) quando x se aproxima de r.
Nosso objetivo é usar a existência de f'(r) para deduzir que \lim_{x\to r} f(x)=f(r).

Passo 3

Fórmula algebraica útil (válida para x\neq r):
f(x)-f(r)=(x-r)\cdot\frac{f(x)-f(r)}{x-r}.
Essa identidade é só fatorar a diferença; é exata sempre que o denominador fizer sentido.
Agora vamos tomar limite em ambos os lados quando x\to r. Primeiro, verifique os limites das duas partes no produto:
  • \displaystyle\lim_{x\to r}(x-r)=0, porque claramente a diferença vai a zero.
  • Pela hipótese, \displaystyle\lim_{x\to r}\frac{f(x)-f(r)}{x-r}=f'(r), que é um número real (finito).
Como temos dois limites finitos, podemos usar a propriedade de limites que diz: se \lim_{x\to r}g(x)=A e \lim_{x\to r}h(x)=B com A,B finitos, então \lim_{x\to r} g(x)h(x)=AB.
Aplicando isso ao produto acima,
\lim_{x\to r}\bigl(f(x)-f(r)\bigr) =\lim_{x\to r}(x-r)\cdot\lim_{x\to r}\frac{f(x)-f(r)}{x-r} =0\cdot f'(r)=0.
Portanto \displaystyle\lim_{x\to r}f(x)-f(r)=0, o que implica
\lim_{x\to r}f(x)=f(r).
Esse cálculo mostra passo a passo por que a existência da derivada em r força a continuidade em r.

Passo 4

Comentário adicional importante (para fixar o conceito):
  • Conclusão: a afirmação é verdadeira. Em palavras: “derivável em um ponto” implica “contínua nesse ponto”.
  • A recíproca é falsa: continuidade não garante derivabilidade. Exemplo clássico: a função f(x)=|x| em x=0 é contínua (tem \lim_{x\to 0}f(x)=0=f(0)) mas não é diferenciável em 0, porque as derivadas laterais não coincidem (limite da razão à direita é 1 e à esquerda é -1). Esse exemplo mostra que continuidade não implica derivabilidade, mas derivabilidade implica continuidade.

Passo 5

Resumo prático para prova: ao ver a hipótese "existe f'(r)", lembre-se de que você tem a identidade
f(x)=f(r)+(x-r)\cdot\frac{f(x)-f(r)}{x-r}
e, ao passar ao limite, o fator (x-r) vai a zero enquanto a razão vai a f'(r); produto dá zero, logo \lim_{x\to r}f(x)=f(r). Isso é curto, direto e funciona sempre que a derivada for um número finito.

Resposta

Verdadeiro.

Exercícios relacionados