Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa. \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}\
é verdadeira ou falsa. Não há outras hipóteses no enunciado (por exemplo, nenhuma condição sobre y além de ser duas vezes diferenciável), então a leitura natural é: “a igualdade vale para toda função suficientemente suave y(x)?” É isso que vamos analisar.
Passo 2
Uma maneira direta de testar uma afirmação universal é procurar um contraexemplo. Escolho a função simples
y(x)=x.
Agora calcule as derivadas, explicando cada passo:
A derivada de y(x)=x é \frac{dy}{dx}=1 porque a taxa de variação de x em relação a x é 1.
A segunda derivada é \frac{d^{2}y}{dx^{2}}=0 porque a derivada de uma constante (1) é 0.
O quadrado da primeira derivada é \left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}=1^{2}=1.
Vamos resolver essa equação para ver quais funções a satisfazem (ou seja, entender quando a igualdade é verdadeira). É útil usar a substituição
p(x)=\frac{dy}{dx},
então a equação fica
\frac{dp}{dx}=p^{2}.
Isto é uma equação separável, que lembra escolarmente “colocar todos os p de um lado e x do outro” e integrar. Escrevemos
\frac{dp}{p^{2}} = dx.
Agora integramos ambos os lados. A integral do lado esquerdo é a integral de p^{-2}:
\int p^{-2}\,dp = \int dx.
Aprimorando o cálculo:
\int p^{-2}\,dp = -p^{-1} + C_1,
pois a derivada de -p^{-1} é p^{-2}. A integral do lado direito é x + C_2. Igualando (podemos agrupar as constantes num único constante):
- \frac{1}{p} = x + C,
onde C é uma constante arbitrária. Isolando p:
p(x)=\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{x+C}.
Passo 4
Agora integramos p para obter y. Como \frac{dy}{dx} = -\dfrac{1}{x+C}, ao integrar em x obtemos
y(x) = -\ln\!\big|x+C\big| + D,
onde D é outra constante de integração. Além disso, note que ao separar a equação \frac{dp}{dx}=p^{2} também existe a solução de equilíbrio p\equiv 0, que corresponde a
Portanto a família completa de soluções (em intervalos onde tudo é bem definido) é
y(x) = -\ln\!\big|x+C\big| + D \quad\text{ou}\quad y(x)=\text{constante},
com domínio restrito a x\neq -C no primeiro tipo (para evitar divisão por zero e o log indefinido).
Passo 5
Resumo didático e interpretação: a igualdade dada não é uma identidade verdadeira para todas as funções duas vezes diferenciáveis — basta o contraexemplo y(x)=x para provar que é falsa. Contudo, existem funções específicas que satisfazem a igualdade: são exatamente as constantes e as funções da forma y(x)=-\ln|x+C|+D (em domínios apropriados). Ou seja, a igualdade define uma equação diferencial cujo conjunto de soluções não é “todas as funções”, mas um conjunto bem determinado.