Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}\

Passo 1

O enunciado pergunta se a afirmação
\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = \left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}
é verdadeira ou falsa. Não há outras hipóteses no enunciado (por exemplo, nenhuma condição sobre y além de ser duas vezes diferenciável), então a leitura natural é: “a igualdade vale para toda função suficientemente suave y(x)?” É isso que vamos analisar.

Passo 2

Uma maneira direta de testar uma afirmação universal é procurar um contraexemplo. Escolho a função simples
y(x)=x.
Agora calcule as derivadas, explicando cada passo:
  • A derivada de y(x)=x é \frac{dy}{dx}=1 porque a taxa de variação de x em relação a x é 1.
  • A segunda derivada é \frac{d^{2}y}{dx^{2}}=0 porque a derivada de uma constante ( 1) é 0.
  • O quadrado da primeira derivada é \left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}=1^{2}=1.
Comparando:
\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=0 \quad\text{e}\quad \left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}=1,
logo não são iguais. Portanto a afirmação, tomada como válida para toda função duas vezes diferenciável, é falsa — este y(x)=x é um contraexemplo.

Passo 3

Para aprender mais e não ficar só no contraexemplo: a igualdade escrita é uma equação diferencial ordinária
\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = \left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}.
Vamos resolver essa equação para ver quais funções a satisfazem (ou seja, entender quando a igualdade é verdadeira). É útil usar a substituição
p(x)=\frac{dy}{dx},
então a equação fica
\frac{dp}{dx}=p^{2}.
Isto é uma equação separável, que lembra escolarmente “colocar todos os p de um lado e x do outro” e integrar. Escrevemos
\frac{dp}{p^{2}} = dx.
Agora integramos ambos os lados. A integral do lado esquerdo é a integral de p^{-2}:
\int p^{-2}\,dp = \int dx.
Aprimorando o cálculo:
\int p^{-2}\,dp = -p^{-1} + C_1,
pois a derivada de -p^{-1} é p^{-2}. A integral do lado direito é x + C_2. Igualando (podemos agrupar as constantes num único constante):
- \frac{1}{p} = x + C,
onde C é uma constante arbitrária. Isolando p:
p(x)=\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{x+C}.

Passo 4

Agora integramos p para obter y. Como \frac{dy}{dx} = -\dfrac{1}{x+C}, ao integrar em x obtemos
y(x) = -\ln\!\big|x+C\big| + D,
onde D é outra constante de integração. Além disso, note que ao separar a equação \frac{dp}{dx}=p^{2} também existe a solução de equilíbrio p\equiv 0, que corresponde a
\frac{dy}{dx}=0 \quad\Rightarrow\quad y(x)=\text{constante}.
Portanto a família completa de soluções (em intervalos onde tudo é bem definido) é
y(x) = -\ln\!\big|x+C\big| + D \quad\text{ou}\quad y(x)=\text{constante},
com domínio restrito a x\neq -C no primeiro tipo (para evitar divisão por zero e o log indefinido).

Passo 5

Resumo didático e interpretação: a igualdade dada não é uma identidade verdadeira para todas as funções duas vezes diferenciáveis — basta o contraexemplo y(x)=x para provar que é falsa. Contudo, existem funções específicas que satisfazem a igualdade: são exatamente as constantes e as funções da forma y(x)=-\ln|x+C|+D (em domínios apropriados). Ou seja, a igualdade define uma equação diferencial cujo conjunto de soluções não é “todas as funções”, mas um conjunto bem determinado.

Resposta

Falsa.

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