Determine se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Prove as verdadeiras e apresente um contra-exemplo para as falsas
(a) Se u perp v e v perp w então u perp w.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. A afirmação diz: "Se u perp v e v perp w, então u perp w". Estamos trabalhando com vetores e perpendicularidade, que envolve o produto escalar. Para resolver, vamos verificar se essa afirmação é sempre verdadeira ou se há casos em que ela não se sustenta.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa u perp v. Dois vetores são perpendiculares se o produto escalar entre eles é zero:
u cdot v = 0
Isso significa que o ângulo entre eles é de 90 graus.

Passo 3

Agora, queremos saber se, dado que u perp v e v perp w, necessariamente u perp w. Vamos testar isso com um exemplo.

Passo 4

Considere os vetores no plano bidimensional:
u = 1 0 , v = 0 1 , w = 1 0
Aqui, u perp v porque:
u cdot v = (1)(0) + (0)(1) = 0
E v perp w porque:
v cdot w = (0)(1) + (1)(0) = 0

Passo 5

No entanto, vamos verificar se u perp w:
u cdot w = (1)(1) + (0)(0) = 1 neq 0
Isso mostra que u e w não são perpendiculares.

Resposta

A afirmação é falsa. Um contra-exemplo é:
u = 1 0 , v = 0 1 , w = 1 0
onde u perp v e v perp w, mas .

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