Determine se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Prove as verdadeiras e apresente um contra-exemplo para as falsas
(a) Se
e
então
.
(a) Se
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. A afirmação diz: "Se
e
, então
". Estamos trabalhando com vetores e perpendicularidade, que envolve o produto escalar. Para resolver, vamos verificar se essa afirmação é sempre verdadeira ou se há casos em que ela não se sustenta.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa
. Dois vetores são perpendiculares se o produto escalar entre eles é zero:
Isso significa que o ângulo entre eles é de 90 graus.
Passo 3
Agora, queremos saber se, dado que
e
, necessariamente
. Vamos testar isso com um exemplo.
Passo 4
Considere os vetores no plano bidimensional:
Aqui,
porque:
E
porque:
Passo 5
No entanto, vamos verificar se
:
Isso mostra que
e
não são perpendiculares.
Resposta
A afirmação é falsa. Um contra-exemplo é:
onde
e
, mas .