Prove que se
e
, então
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão de vetores! O enunciado nos pede para provar que, se o vetor
é perpendicular a
e o vetor
é perpendicular a
, então o vetor
também é perpendicular a
. Para isso, vamos usar o conceito de produto escalar e as propriedades de vetores perpendiculares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que quando dois vetores são perpendiculares, o produto escalar entre eles é zero. Ou seja, se
, então
.
Passo 3
De acordo com o enunciado, temos duas condições:
-
, então . -
, então .
Passo 4
Vamos expandir essas equações usando a propriedade distributiva do produto escalar:
-
. -
.
Passo 5
Observando a segunda equação, podemos reescrevê-la como:
.
Passo 6
Agora, substituímos
da segunda equação na primeira:
.
Passo 7
Substituindo
por
, temos:
.
Passo 8
Fatorando
, obtemos:
.
Passo 9
Isso significa que
é perpendicular a
, ou seja:
.
Resposta
Portanto, provamos que
é perpendicular a
.