Determine o ângulo agudo entre dois vetores A=2 ax+ay+3 az e B=ax -3 ay+2 az mediante o uso das seguintes definições: (a) produto escalar; (b) produto vetorial.

Passo 1

O enunciado pede para determinar o ângulo agudo entre os vetores A=2ax+1ay+3az e B=1ax-3ay+2az, usando (a) produto escalar e (b) produto vetorial. Vamos usar as definições de produto escalar AcdotB=|A|,|B|costheta e de produto vetorial |AtimesB|=|A|,|B|sintheta.

Passo 2

Calculamos o produto escalar entre A e B:
AcdotB=(2)(1)+(1)(-3)+(3)(2)=2-3+6=5

Passo 3

Determinamos os módulos de A e B:
|A|=raiz2^2+1^2+3^2=raiz14,
|B|=raiz1^2+(-3)^2+2^2=raiz14

Passo 4

Usando a definição do produto escalar temos:
costheta=AcdotB|A|,|B|=5raiz14,raiz14=514
theta=arccosgl(514gr)approx69.1^circ

Passo 5

Agora pelo produto vetorial, calculamos AtimesB:
AtimesB= ax & ay & az 2 & 1 & 3 1 & -3 & 2 =11ax-1ay-7az

Passo 6

O módulo do produto vetorial é:
|AtimesB|=raiz11^2+(-1)^2+(-7)^2=raiz171

Passo 7

Aplicando sintheta=tfrac|AtimesB||A|,|B| temos:
sintheta=raiz171raiz14,raiz14=raiz17114,
theta=arcsingl(raiz17114gr)approx69.1^circ,

Passo 8

confirmando que ambos os métodos dão o mesmo ângulo agudo.

Resposta

theta=arccosl(5/14r)approx69.1^circ

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