Determine o ângulo entre os vetores. (Encontre inicialmente uma expressão exata e depois aproxime o valor até a precisão de um grau.)
7. \mathbf{a}=\mathbf{i}-2 \mathbf{j}+3 \mathbf{k}, \mathbf{b}=5 \mathbf{i}+9 \mathbf{k}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o ângulo entre os vetores \mathbf{a} = \mathbf{i} - 2\mathbf{j} + 3\mathbf{k} e \mathbf{b} = 5\mathbf{i} + 9\mathbf{k}. O conteúdo principal aqui é geometria vetorial: vamos usar o produto escalar e as normas dos vetores para obter \cos\theta e, em seguida, extrair \theta.

Passo 2

Calcular o produto escalar \mathbf{a}\cdot\mathbf{b}. Lembrando que só se multiplicam componentes correspondentes e somam-se os resultados:
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = (1)\cdot(5) + (-2)\cdot(0) + (3)\cdot(9) = 5 + 0 + 27 = 32.

Passo 3

Calcular as normas \|\mathbf{a}\| e \|\mathbf{b}\|.
\|\mathbf{a}\| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14},
\|\mathbf{b}\| = \sqrt{5^2 + 0^2 + 9^2} = \sqrt{25 + 81} = \sqrt{106}.

Passo 4

Expressar \cos\theta usando a fórmula do produto escalar:
\cos\theta = \frac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{\|\mathbf{a}\|\,\|\mathbf{b}\|} = \frac{32}{\sqrt{14}\,\sqrt{106}} = \frac{32}{\sqrt{1484}} = \frac{16}{\sqrt{371}}.
Logo, a expressão exata para o ângulo é
\theta = \operatorname{arccos}\!\biggl(\frac{16}{\sqrt{371}}\biggr).

Passo 5

Agora vamos aproximar \theta em graus. Primeiro computamos numericamente
\frac{16}{\sqrt{371}}\approx 0{,}8310,
então
\theta \approx \operatorname{arccos}(0{,}8310)\approx 0{,}593\\ \text{rad}.
Convertendo para graus:
\theta_{\text{deg}} \approx 0{,}593 \times \frac{180}{\pi} \approx 34^\circ
com precisão de um grau.

Resposta

\theta = \operatorname{arccos}\!\biggl(\frac{16}{\sqrt{371}}\biggr)\approx 34^\circ.

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