Determine o ângulo entre os vetores:
\mathbf{a}=\langle 3,-1,5\rangle, \quad \mathbf{b}=\langle-2,4,3\rangle

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • Foi pedido: determinar o ângulo entre os vetores.
  • Dados:
    • \mathbf{a}=\langle 3,-1,5\rangle
    • \mathbf{b}=\langle -2,4,3\rangle
Vou trabalhar explicitamente com esses números em todos os passos seguintes.

Passo 2

Definição e ideia principal (passo-a-passo didático).
  • Produto escalar (dot product) de dois vetores em \mathbb{R}^3: para \mathbf{u}=\langle u_1,u_2,u_3\rangle e \mathbf{v}=\langle v_1,v_2,v_3\rangle,
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3.
  • Relação entre produto escalar e ângulo \theta entre os vetores:
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=\|\mathbf{u}\|\,\|\mathbf{v}\|\,\cos\theta,
onde \|\mathbf{u}\| é a norma (magnitude) do vetor \mathbf{u}, definida por
\|\mathbf{u}\|=\sqrt{u_1^2+u_2^2+u_3^2}.
Isso significa que, se calcularmos \mathbf{a}\cdot\mathbf{b} e as normas \|\mathbf{a}\| e \|\mathbf{b}\|, podemos obter
\cos\theta=\dfrac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{\|\mathbf{a}\|\,\|\mathbf{b}\|},
e então \theta=\operatorname{arccos}(\cdot).
Agora calculemos o produto escalar para os vetores dados.

Passo 3

Cálculo do produto escalar \mathbf{a}\cdot\mathbf{b}.
  • Multiplicando componente a componente e somando:
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=3\cdot(-2)+(-1)\cdot 4 + 5\cdot 3.
  • Calculando cada termo:
3\cdot(-2)=-6,\qquad (-1)\cdot 4=-4,\qquad 5\cdot 3=15.
  • Somando:
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=-6-4+15=5.
Portanto \mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=5.

Passo 4

Cálculo das normas \|\mathbf{a}\| e \|\mathbf{b}\|.
  • Para \mathbf{a}=\langle 3,-1,5\rangle:
\|\mathbf{a}\|=\sqrt{3^2+(-1)^2+5^2}=\sqrt{9+1+25}=\sqrt{35}.
  • Para \mathbf{b}=\langle -2,4,3\rangle:
\|\mathbf{b}\|=\sqrt{(-2)^2+4^2+3^2}=\sqrt{4+16+9}=\sqrt{29}.
Então \|\mathbf{a}\|=\sqrt{35} e \|\mathbf{b}\|=\sqrt{29}.

Passo 5

Encontrar \cos\theta e a expressão exata para \theta.
  • Usando a relação
\cos\theta=\dfrac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{\|\mathbf{a}\|\,\|\mathbf{b}\|},
substituindo os valores já calculados:
\cos\theta=\dfrac{5}{\sqrt{35}\,\sqrt{29}}=\dfrac{5}{\sqrt{1015}}.
  • Portanto a expressão exata para o ângulo é
\theta=\operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{5}{\sqrt{1015}}\right).
Se, na prova, for permitido usar calculadora, procede-se ao valor numérico a seguir; se não houver calculadora, entregar a forma com \operatorname{arccos} é uma resposta exata válida.

Passo 6

Aproximação numérica do cosseno e do ângulo (procedimento e verificação com valores conhecidos).
  • Primeiro aproximar \cos\theta:
\sqrt{1015}\approx 31,854\quad\Rightarrow\quad \cos\theta \approx \dfrac{5}{31,854}\approx 0,15695.
  • Para obter \theta em graus usar \theta=\operatorname{arccos}(0,15695). Sabendo tabelas/valores aproximados:
    • \cos 80^\circ\approx 0,17365
    • \cos 81^\circ\approx 0,15643
      Nosso valor 0,15695 fica muito próximo de \cos 81^\circ, um pouco maior; interpola-se e encontra-se
\theta\approx 80,97^\circ.
  • Convertendo para radianos (se precisar): usar 1^\circ=\dfrac{\pi}{180} rad.
\theta\\ (\text{rad})\approx 80,97^\circ\cdot\dfrac{\pi}{180}\approx 1,413\\ \text{rad}.

Resposta

\theta=\operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{5}{\sqrt{1015}}\right)
\theta\approx 80,97^\circ
\theta\approx 1,413\\ \text{rad}

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