Determine o ângulo entre os vetores:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado:
- Foi pedido: determinar o ângulo entre os vetores.
- Dados:
-
Vou trabalhar explicitamente com esses números em todos os passos seguintes.
Passo 2
Definição e ideia principal (passo-a-passo didático).
- Produto escalar (dot product) de dois vetores em
: para e ,
- Relação entre produto escalar e ângulo
entre os vetores:
onde
é a norma (magnitude) do vetor
, definida por
Isso significa que, se calcularmos
e as normas
e
, podemos obter
e então
.
Agora calculemos o produto escalar para os vetores dados.
Passo 3
Cálculo do produto escalar
.
- Multiplicando componente a componente e somando:
- Calculando cada termo:
- Somando:
Portanto
.
Passo 4
Cálculo das normas
e
.
- Para
:
- Para
:
Então
e
.
Passo 5
Encontrar
e a expressão exata para
.
- Usando a relação
substituindo os valores já calculados:
- Portanto a expressão exata para o ângulo é
Se, na prova, for permitido usar calculadora, procede-se ao valor numérico a seguir; se não houver calculadora, entregar a forma com
é uma resposta exata válida.
Passo 6
Aproximação numérica do cosseno e do ângulo (procedimento e verificação com valores conhecidos).
- Primeiro aproximar
:
- Para obter
em graus usar . Sabendo tabelas/valores aproximados: -
-
Nosso valorfica muito próximo de , um pouco maior; interpola-se e encontra-se
-
- Convertendo para radianos (se precisar): usar
rad.