Determine a área do paralelogramo com vértices nos pontos indicados:
P( 0,0,0), Q(5,0,0), R(2,6,6) e S(7,6,6)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. A questão nos dá quatro pontos no espaço tridimensional: , , e . Precisamos determinar a área do paralelogramo formado por esses vértices. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de vetores e produto vetorial da matéria de Geometria Analítica.

Passo 2

Vamos começar identificando dois vetores que formam o paralelogramo. Podemos escolher os vetores que partem do ponto PQ = Q - P = (5-0, 0-0, 0-0) = (5, 0, 0) até os pontos PR = R - P = (2-0, 6-0, 6-0) = (2, 6, 6) e .
O vetor é dado por:
O vetor é dado por:

Passo 3

Para encontrar a área do paralelogramo formado por PQ times PR = i & j & k 5 & 0 & 0 2 & 6 & 6 e PQ times PR = i(0 cdot 6 - 0 cdot 6) - j(5 cdot 6 - 0 cdot 2) + k(5 cdot 6 - 0 cdot 2) , usamos o produto vetorial desses dois vetores. A área é igual ao módulo (ou norma) do produto vetorial.
Primeiro, calculamos o produto vetorial = i(0) - j(30) + k(30) :
= (0, -30, 30)
Calculando o determinante:

Passo 4

Agora, vamos calcular o módulo desse vetor resultante para encontrar a área do paralelogramo:
|PQ times PR| = raiz0^2 + (-30)^2 + 30^2 = raiz0 + 900 + 900 = raiz1800
Simplificando a raiz:
raiz1800 = raiz100 times 18 = 10 raiz18 = 10 times 3 raiz2 = 30 raiz2

Resposta

A área do paralelogramo é unidades quadradas.

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