Seja o espaço vetorial de todos os polinômios de grau menor ou igual a 2 com coeficientes reais.
(b) Escreva como combinação linear dos vetores .
Passo 1
Vamos resumir o que o exercício está nos pedindo. Temos um polinômio e queremos escrevê-lo como uma combinação linear dos vetores , e no espaço vetorial , que é o conjunto de todos os polinômios de grau menor ou igual a 2. Para isso, precisamos encontrar coeficientes reais que permitam essa combinação.
Passo 2
Primeiro, entendamos o que significa uma combinação linear. Uma combinação linear dos vetores , e com coeficientes , e é dada por:
Nosso objetivo é encontrar os valores de , e que fazem essa expressão igual a .
Passo 3
Vamos expandir a combinação linear:
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
Passo 4
Queremos que essa expressão seja igual ao polinômio . Então, igualamos os coeficientes correspondentes de cada termo:
Passo 5
Vamos resolver o sistema de equações para encontrar a + b + a - b = 2 + (-1) 2a = 1 a = 12 e 12 + b = 2 b = 2 - 12 b = 32 . Somando as duas primeiras equações:
Agora, substituímos o valor de na primeira equação:
Já sabemos que pela terceira equação.
Resposta
Os coeficientes são p(t) = 12(1 + t) + 32(1 - t) + 3 t^2 , e . Portanto,