Seja P2 o espaço vetorial de todos os polinômios de grau menor ou igual a 2 com coeficientes reais.
(b) Escreva p(t)=2-t+3 t^2 como combinação linear dos vetores 1+t, 1-t, t^2.

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício está nos pedindo. Temos um polinômio e queremos escrevê-lo como uma combinação linear dos vetores , e no espaço vetorial , que é o conjunto de todos os polinômios de grau menor ou igual a 2. Para isso, precisamos encontrar coeficientes reais que permitam essa combinação.

Passo 2

Primeiro, entendamos o que significa uma combinação linear. Uma combinação linear dos vetores a(1 + t) + b(1 - t) + c t^2 , e com coeficientes , e é dada por:
Nosso objetivo é encontrar os valores de , e que fazem essa expressão igual a .

Passo 3

Vamos expandir a combinação linear:
a(1 + t) + b(1 - t) + c t^2 = a + a t + b - b t + c t^2
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
(a + b) + (a - b) t + c t^2

Passo 4

Queremos que essa expressão seja igual ao polinômio a + b = 2 &(termo constante) a - b = -1 &(coeficiente de t) c = 3 &(coeficiente de t^2) . Então, igualamos os coeficientes correspondentes de cada termo:

Passo 5

Vamos resolver o sistema de equações para encontrar a + b + a - b = 2 + (-1) 2a = 1 a = 12 e 12 + b = 2 b = 2 - 12 b = 32 . Somando as duas primeiras equações:
Agora, substituímos o valor de na primeira equação:
Já sabemos que pela terceira equação.

Resposta

Os coeficientes são p(t) = 12(1 + t) + 32(1 - t) + 3 t^2 , e . Portanto,

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