Determine a área da região limitada pelas curvas
,
,
e
.
Passo 1
O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas
,
,
e
.\n
Informações dadas e o que precisamos encontrar:\n
Informações dadas e o que precisamos encontrar:\n
- A curva superior da região é
.\n - A curva inferior é
(eixo ).\n - As fronteiras verticais são as retas
e .\n - Precisamos determinar a área dessa região no plano
entre e .
Passo 2
Entendimento geométrico e escolha do método (sem resolver ainda):\n
A região é a área sob o gráfico de e acima do eixo
, entre
e
. Quando uma região é assim (curva acima do eixo
em um intervalo
), a área é dada pelo integral definido
. Portanto vamos calcular
.\n
Agora vou explicar por que o integral calcula a área e como calcular esse integral passo a passo.
A região é a área sob o gráfico de
Agora vou explicar por que o integral calcula a área e como calcular esse integral passo a passo.
Passo 3
Intuição do integral como área (Riemann de forma simples):\n
- Imagine dividir o intervalo
em muitas fatias estreitas de largura . Em cada fatia, aproximamos a altura pela valor de em algum ponto da fatia; a área da fatia é aproximadamente altura largura, isto é .\n - Somando todas as fatias e fazendo a largura
tender a zero (ou seja, tomando o limite), obtemos a soma infinita que define o integral:\n
Isso é o conteúdo do conceito de integral definido como limite de somas de Riemann.
Passo 4
Fórmula antiderivada (princípio do Cálculo Fundamental) e por que sua antiderivada é
:\n
- O Teorema Fundamental do Cálculo diz que, se
é uma antiderivada de (ou seja, ), então\n
- Precisamos então de uma função
tal que . Uma função bem conhecida com essa propriedade é a função logaritmo natural: . De fato, a derivada de (para ) é\n
- Assim
é uma antiderivada de no intervalo , que inclui .
Passo 5
Aplicação direta do Teorema Fundamental do Cálculo:\n
Usando , calculamos o integral definido:
Usando
Passo 6
Avaliação dos logaritmos e resultado final simbólico e numérico:\n
- Sabemos que
, então o resultado simbólico fica
- Se quiser uma aproximação decimal,
.\n
Portanto a área pedida é(unidades de área).