Determine a área da região limitada pelas curvas y = \frac{1}{x}, y = 0, x = 1 e x = 2.

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas y=\frac{1}{x}, y=0, x=1 e x=2.\n
Informações dadas e o que precisamos encontrar:\n
  • A curva superior da região é y=\frac{1}{x}.\n
  • A curva inferior é y=0 (eixo x).\n
  • As fronteiras verticais são as retas x=1 e x=2.\n
  • Precisamos determinar a área dessa região no plano xy entre x=1 e x=2.

Passo 2

Entendimento geométrico e escolha do método (sem resolver ainda):\n
A região é a área sob o gráfico de y=\frac{1}{x} e acima do eixo x, entre x=1 e x=2. Quando uma região é assim (curva acima do eixo x em um intervalo [a,b]), a área é dada pelo integral definido \displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,dx. Portanto vamos calcular \displaystyle\int_{1}^{2} \frac{1}{x}\,dx.\n
Agora vou explicar por que o integral calcula a área e como calcular esse integral passo a passo.

Passo 3

Intuição do integral como área (Riemann de forma simples):\n
  • Imagine dividir o intervalo [1,2] em muitas fatias estreitas de largura \Delta x. Em cada fatia, aproximamos a altura pela valor de y=\frac{1}{x} em algum ponto da fatia; a área da fatia é aproximadamente altura \times largura, isto é \frac{1}{x_i}\Delta x.\n
  • Somando todas as fatias e fazendo a largura \Delta x tender a zero (ou seja, tomando o limite), obtemos a soma infinita que define o integral:\n
\text{área}=\lim_{\text{máximo }\Delta x\to0}\sum \frac{1}{x_i}\Delta x=\int_{1}^{2}\frac{1}{x}\,dx.áá
Isso é o conteúdo do conceito de integral definido como limite de somas de Riemann.

Passo 4

Fórmula antiderivada (princípio do Cálculo Fundamental) e por que sua antiderivada é \ln x:\n
  • O Teorema Fundamental do Cálculo diz que, se F(x) é uma antiderivada de f(x) (ou seja, F'(x)=f(x)), então\n
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b)-F(a).\n
  • Precisamos então de uma função F(x) tal que F'(x)=\frac{1}{x}. Uma função bem conhecida com essa propriedade é a função logaritmo natural: F(x)=\ln x. De fato, a derivada de \ln x (para x>0) é\n
\frac{d}{dx}\big(\ln x\big)=\frac{1}{x}.\n
  • Assim \ln x é uma antiderivada de \frac{1}{x} no intervalo (0,\infty), que inclui [1,2].

Passo 5

Aplicação direta do Teorema Fundamental do Cálculo:\n
Usando F(x)=\ln x, calculamos o integral definido:
\int_{1}^{2}\frac{1}{x}\,dx = \big[\ln x\big]_{1}^{2} = \ln(2)-\ln(1).

Passo 6

Avaliação dos logaritmos e resultado final simbólico e numérico:\n
  • Sabemos que \ln(1)=0, então o resultado simbólico fica
\ln(2)-\ln(1)=\ln(2)-0=\ln(2).\n
  • Se quiser uma aproximação decimal, \ln(2)\approx 0{,}6931.\n
    Portanto a área pedida é \ln(2) (unidades de área).

Resposta

\ln 2

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