Determine a área da região limitada pelas curvas
,
e
.
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar a área da região limitada pelas curvas
,
e
.
Informações dadas relevantes: as três curvas são a função logarítmica , a reta horizontal
e a reta vertical
. Note que a função
está definida apenas para
. Não faço cálculos de área neste passo — apenas identifiquei as curvas e o objetivo.
Informações dadas relevantes: as três curvas são a função logarítmica
Passo 2
Qual método usar e por quê. Vou usar integração em
(a forma mais direta aqui) porque a região é naturalmente descrita entre duas curvas em função de
: para cada
entre dois limites, há uma altura entre a reta
(topo) e a curva
(fundo). A fórmula básica que usaremos é a seguinte:
onde
e
são as abscissas dos pontos de interseção que fecham a região. Explicando essa fórmula: pegue uma fatia vertical de espessura infinitesimal
; sua altura é
; somando (integrando) essas áreas de fatia de
até
obtemos a área total.
Também vou precisar da primitiva de
. Para aprender isso rapidamente, mostro a integração por partes para
:
escolha
e
. Então
e
. Pela fórmula da integração por partes,
Portanto a antiderivada de
é
.
Passo 3
Determinar os limites de integração (os pontos de interseção relevantes). Precisamos dos pontos onde as curvas se encontram no contorno da região:
- A interseção entre
e resolve , logo . Isso dá o ponto . - A interseção entre
e é obtida substituindo em : , logo ponto . - A interseção entre
e é o ponto , que é o canto superior esquerdo da região.
Dessa forma a região é fechada pelo segmento vertical em
entre
e
, pelo segmento horizontal
de
a
, e pelo arco da curva
de
a
. Logo os limites em
são
e
. O integrando será
.
Assim montamos a integral:
Passo 4
Calcular a integral passo a passo. Separe em duas integrais:
Calcule cada uma:
-
, então - Para a segunda, usamos a primitiva que encontramos:
. Assim
Agora avalie os extremos:
- Em
: - Em
:
Portanto
Agora volte à diferença:
Passo 5
Interpretação final curta e checagem mental: a área é positiva e pequena (como esperado); em unidades de área é
que numericamente vale aproximadamente
. Está coerente com a figura: é a região entre
e a curva log entre
e
.