Determine a área da região limitada pelas curvas y = \ln x, y = 1 e x = 1.

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar a área da região limitada pelas curvas y=\ln x, y=1 e x=1.
Informações dadas relevantes: as três curvas são a função logarítmica y=\ln x, a reta horizontal y=1 e a reta vertical x=1. Note que a função y=\ln x está definida apenas para x>0. Não faço cálculos de área neste passo — apenas identifiquei as curvas e o objetivo.

Passo 2

Qual método usar e por quê. Vou usar integração em x (a forma mais direta aqui) porque a região é naturalmente descrita entre duas curvas em função de x: para cada x entre dois limites, há uma altura entre a reta y=1 (topo) e a curva y=\ln x (fundo). A fórmula básica que usaremos é a seguinte:
\text{Área}=\int_{a}^{b} \big(y_{\text{top}}(x)-y_{\text{bot}}(x)\big)\,dx,Á
onde a e b são as abscissas dos pontos de interseção que fecham a região. Explicando essa fórmula: pegue uma fatia vertical de espessura infinitesimal dx; sua altura é y_{\text{top}}-y_{\text{bot}}; somando (integrando) essas áreas de fatia de x=a até x=b obtemos a área total.
Também vou precisar da primitiva de \ln x. Para aprender isso rapidamente, mostro a integração por partes para \int \ln x\,dx:
escolha u=\ln x e dv=dx. Então du=\dfrac{1}{x}dx e v=x. Pela fórmula da integração por partes,
\int \ln x\,dx = x\ln x - \int x\cdot\frac{1}{x}\,dx = x\ln x - \int 1\,dx = x\ln x - x + C.
Portanto a antiderivada de \ln x é x\ln x - x.

Passo 3

Determinar os limites de integração (os pontos de interseção relevantes). Precisamos dos pontos onde as curvas se encontram no contorno da região:
  • A interseção entre y=1 e y=\ln x resolve \ln x = 1, logo \;x=e. Isso dá o ponto (e,1).
  • A interseção entre x=1 e y=\ln x é obtida substituindo x=1 em \ln x: \ln 1=0, logo ponto (1,0).
  • A interseção entre x=1 e y=1 é o ponto (1,1), que é o canto superior esquerdo da região.
Dessa forma a região é fechada pelo segmento vertical em x=1 entre y=0 e y=1, pelo segmento horizontal y=1 de x=1 a x=e, e pelo arco da curva y=\ln x de x=1 a x=e. Logo os limites em x são a=1 e b=e. O integrando será y_{\text{top}}-y_{\text{bot}} = 1 - \ln x.
Assim montamos a integral:
\text{Área}=\int_{1}^{e} \big(1-\ln x\big)\,dx.Á

Passo 4

Calcular a integral passo a passo. Separe em duas integrais:
\int_{1}^{e} \big(1-\ln x\big)\,dx = \int_{1}^{e} 1\,dx \;-\; \int_{1}^{e} \ln x\,dx.
Calcule cada uma:
  • \displaystyle \int 1\,dx = x, então \displaystyle \int_{1}^{e} 1\,dx = \big[x\big]_{1}^{e} = e-1.
  • Para a segunda, usamos a primitiva que encontramos: \displaystyle \int \ln x\,dx = x\ln x - x. Assim
\int_{1}^{e} \ln x\,dx = \big[x\ln x - x\big]_{1}^{e}.
Agora avalie os extremos:
  • Em x=e: e\ln e - e = e\cdot 1 - e = 0.
  • Em x=1: 1\ln 1 - 1 = 0 - 1 = -1.
    Portanto \displaystyle \int_{1}^{e} \ln x\,dx = 0 - (-1) = 1.
Agora volte à diferença:
\text{Área} = (e-1) - 1 = e - 2.Á

Passo 5

Interpretação final curta e checagem mental: a área é positiva e pequena (como esperado); em unidades de área é \;e-2\; que numericamente vale aproximadamente 2{,}71828-2=0{,}71828. Está coerente com a figura: é a região entre y=1 e a curva log entre x=1 e x=e.

Resposta

e-2

Exercícios relacionados