Determine a área da região limitada pelas curvas
e
.
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar a área da região limitada pelas curvas
e
.
Informações dadas:
- A primeira curva é a parábola
. - A segunda curva é a reta horizontal
. - Precisamos calcular a área da região comum limitada por essas duas curvas (a região “entre” elas).
Passo 2
Como vamos medir essa área (ideia geral, sem ainda calcular): quando temos duas curvas expressas como funções de
(isto é,
e
) e queremos a área entre elas, usamos fatias verticais (espessura
). A fórmula básica é:
onde
é a função que está por cima (maior) e
é a função que está por baixo (menor) no intervalo
. As extremidades
e
são os pontos de interseção das duas curvas (os valores de
onde
).
Explicando cada parte dessa fórmula de forma bem prática:
-
representa a largura de uma fatia vertical muito fina. -
é a altura dessa fatia (diferença entre a função de cima e a de baixo). - Ao integrar somamos a área de todas as fatias de
até .
Ainda, se a região for simétrica em relação ao eixo
e a função integranda for par (isto é,
), podemos calcular a integral de
a
e multiplicar por
para simplificar.
Passo 3
Agora encontramos os pontos de interseção (os
e
da fórmula) resolvendo:
Resolvendo essa equação temos:
Portanto as curvas se encontram em
e
. Esses serão os limites da integral.
Passo 4
Identificamos qual curva está por cima e qual por baixo no intervalo
. Para qualquer
neste intervalo temos:
logo a reta
está por cima e a parábola
está por baixo. Assim montamos a integral:
Observação de simplificação: a função integranda
é uma função par (porque
). Então podemos usar simetria e calcular
o que evita lidar com sinais na avaliação em pontos negativos.
Passo 5
Calculamos a integral passo a passo.
Primeiro, achamos a primitiva (antiderivada) de
. Sabemos que:
-
, -
.
Portanto uma primitiva de
é
Usando a forma com simetria:
Agora avaliamos a expressão nos limites. Primeiro em
:
Em
a primitiva vale
. Então
Interpretação final: a área da região limitada pelas curvas é
unidades de área.