Determine a área da região limitada pelas curvas y = x^2 e y = 2.

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar a área da região limitada pelas curvas y=x^{2} e y=2.
Informações dadas:
  • A primeira curva é a parábola y=x^{2}.
  • A segunda curva é a reta horizontal y=2.
  • Precisamos calcular a área da região comum limitada por essas duas curvas (a região “entre” elas).

Passo 2

Como vamos medir essa área (ideia geral, sem ainda calcular): quando temos duas curvas expressas como funções de x (isto é, y=f(x) e y=g(x)) e queremos a área entre elas, usamos fatias verticais (espessura \,dx). A fórmula básica é:
\text{Área}=\int_{a}^{b} \big(f(x)-g(x)\big)\,dx,Á
onde f(x) é a função que está por cima (maior) e g(x) é a função que está por baixo (menor) no intervalo [a,b]. As extremidades a e b são os pontos de interseção das duas curvas (os valores de x onde f(x)=g(x)).
Explicando cada parte dessa fórmula de forma bem prática:
  • \,dx representa a largura de uma fatia vertical muito fina.
  • f(x)-g(x) é a altura dessa fatia (diferença entre a função de cima e a de baixo).
  • Ao integrar somamos a área de todas as fatias de x=a até x=b.
Ainda, se a região for simétrica em relação ao eixo y e a função integranda for par (isto é, h(-x)=h(x)), podemos calcular a integral de 0 a b e multiplicar por 2 para simplificar.

Passo 3

Agora encontramos os pontos de interseção (os a e b da fórmula) resolvendo:
x^{2}=2.
Resolvendo essa equação temos:
x=\pm\sqrt{2}.
Portanto as curvas se encontram em x=-\sqrt{2} e x=+\sqrt{2}. Esses serão os limites da integral.

Passo 4

Identificamos qual curva está por cima e qual por baixo no intervalo [-\sqrt{2},\sqrt{2}]. Para qualquer x neste intervalo temos:
x^{2}\le 2,
logo a reta y=2 está por cima e a parábola y=x^{2} está por baixo. Assim montamos a integral:
\text{Área}=\int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \big(2 - x^{2}\big)\,dx.Á
Observação de simplificação: a função integranda 2-x^{2} é uma função par (porque (2-(-x)^{2})=2-x^{2}). Então podemos usar simetria e calcular
\text{Área}=2\int_{0}^{\sqrt{2}} \big(2 - x^{2}\big)\,dx,Á
o que evita lidar com sinais na avaliação em pontos negativos.

Passo 5

Calculamos a integral passo a passo.
Primeiro, achamos a primitiva (antiderivada) de 2-x^{2}. Sabemos que:
  • \displaystyle \int 2\,dx = 2x,
  • \displaystyle \int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3}.
Portanto uma primitiva de 2-x^{2} é
F(x)=2x-\frac{x^{3}}{3}.
Usando a forma com simetria:
\text{Área}=2\int_{0}^{\sqrt{2}} \big(2 - x^{2}\big)\,dx =2\bigg[\,2x-\frac{x^{3}}{3}\bigg]_{0}^{\sqrt{2}}.Á
Agora avaliamos a expressão nos limites. Primeiro em x=\sqrt{2}:
2\sqrt{2}-\frac{(\sqrt{2})^{3}}{3} =2\sqrt{2}-\frac{2\sqrt{2}}{3} =\frac{6\sqrt{2}-2\sqrt{2}}{3} =\frac{4\sqrt{2}}{3}.
Em x=0 a primitiva vale 0. Então
\text{Área}=2\cdot\frac{4\sqrt{2}}{3}=\frac{8\sqrt{2}}{3}.Á
Interpretação final: a área da região limitada pelas curvas é \dfrac{8\sqrt{2}}{3} unidades de área.

Resposta

\displaystyle \frac{8\sqrt{2}}{3}

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