Determine a área da região limitada pelas curvas y = x^2 - 4 e y = 3x.

Passo 1

O enunciado dá duas curvas: y = x^{2}-4 e y = 3x. Pede-se a área da região limitada (fechada) por essas duas curvas. As informações relevantes que temos são as equações das duas curvas. O que precisamos encontrar são os pontos onde elas se encontram (os limites em x da região) e, entre esses limites, calcular a área como a integral da diferença entre a curva superior e a inferior.

Passo 2

Vamos achar os pontos de interseção resolvendo a equação onde as duas curvas têm o mesmo y:
x^{2}-4 = 3x.
Rearranjando,
x^{2}-3x-4 = 0.
Fatorando o polinômio (procurando dois números que multiplicam -4 e somam -3), obtemos
(x-4)(x+1)=0.
Portanto os pontos de interseção em x são x=4 e x=-1. Os correspondentes valores de y são, por exemplo, para x=4: y=3\cdot 4=12; para x=-1: y=3\cdot(-1)=-3. Então os pontos de interseção são (4,12) e (-1,-3).

Passo 3

Precisamos saber qual curva está acima da outra entre x=-1 e x=4. Tomamos um ponto teste, por exemplo x=0:
\text{para }x=0:\quad y_{\text{parábola}}=0^{2}-4=-4,\quad y_{\text{reta}}=3\cdot 0=0.á
Como 0>-4, a reta y=3x está acima da parábola y=x^{2}-4 naquele intervalo. Logo a altura diferencial da região, para cada x, é
\text{(topo)}-\text{(fundo)} = 3x - (x^{2}-4) = -x^{2}+3x+4.

Passo 4

Explico rapidamente o conceito usado: a área entre duas curvas y=f(x) (embaixo) e y=g(x) (em cima) sobre um intervalo [a,b] é dada pela integral definida
\text{Área}=\int_{a}^{b} \big(g(x)-f(x)\big)\,dx.Á
Aqui já identificamos a=-1, b=4 e g(x)-f(x)=-x^{2}+3x+4. Para calcular a integral usamos antiderivadas (primitivas) das funções polinomiais: \int x^{n}dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} para n\neq -1, e \int c\,dx = cx para constante c.

Passo 5

Montamos a integral que dá a área:
\text{Área}=\int_{-1}^{4} \big(-x^{2}+3x+4\big)\,dx.Á

Passo 6

Calculamos a antiderivada termo a termo:
\int -x^{2}\,dx = -\frac{x^{3}}{3},\qquad \int 3x\,dx = \frac{3}{2}x^{2},\qquad \int 4\,dx = 4x.
Portanto uma primitiva conveniente é
F(x) = -\frac{x^{3}}{3} + \frac{3}{2}x^{2} + 4x.

Passo 7

Avaliamoa F em x=4:
F(4) = -\frac{4^{3}}{3} + \frac{3}{2}\cdot 4^{2} + 4\cdot 4 = -\frac{64}{3} + \frac{3}{2}\cdot 16 + 16.
Calcule \frac{3}{2}\cdot 16 = 24, então
F(4) = -\frac{64}{3} + 24 + 16 = -\frac{64}{3} + 40.
Passando 40 para ter denominador 3: 40=\dfrac{120}{3}, então
F(4)=\frac{120-64}{3}=\frac{56}{3}.

Passo 8

Agora F(-1):
F(-1) = -\frac{(-1)^{3}}{3} + \frac{3}{2}\cdot(-1)^{2} + 4\cdot(-1) = -\frac{-1}{3} + \frac{3}{2} -4.
Isso é
F(-1)=\frac{1}{3}+\frac{3}{2}-4.
Colocando sobre o mesmo denominador 6: \frac{1}{3}=\frac{2}{6}, \frac{3}{2}=\frac{9}{6}, -4=\frac{-24}{6}. Soma:
F(-1)=\frac{2+9-24}{6}=\frac{-13}{6}.

Passo 9

A área é F(4)-F(-1):
\text{Área} = \frac{56}{3} - \left(-\frac{13}{6}\right) = \frac{56}{3} + \frac{13}{6}.Á
Colocando em denominador comum 6: \frac{56}{3}=\frac{112}{6}. Assim
\text{Área} = \frac{112}{6} + \frac{13}{6} = \frac{125}{6}.Á
Como verificação numérica rápida, \dfrac{125}{6}\approx 20{,}833, o que faz sentido para uma região com largura 5 em x e altura média próxima de 4.

Resposta

\dfrac{125}{6}

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