Determine a área da região limitada pelas curvas
e
.
Passo 1
O enunciado dá duas curvas:
e
. Pede-se a área da região limitada (fechada) por essas duas curvas. As informações relevantes que temos são as equações das duas curvas. O que precisamos encontrar são os pontos onde elas se encontram (os limites em
da região) e, entre esses limites, calcular a área como a integral da diferença entre a curva superior e a inferior.
Passo 2
Vamos achar os pontos de interseção resolvendo a equação onde as duas curvas têm o mesmo
:
Rearranjando,
Fatorando o polinômio (procurando dois números que multiplicam
e somam
), obtemos
Portanto os pontos de interseção em
são
e
. Os correspondentes valores de
são, por exemplo, para
:
; para
:
. Então os pontos de interseção são
e
.
Passo 3
Precisamos saber qual curva está acima da outra entre
e
. Tomamos um ponto teste, por exemplo
:
Como
, a reta
está acima da parábola
naquele intervalo. Logo a altura diferencial da região, para cada
, é
Passo 4
Explico rapidamente o conceito usado: a área entre duas curvas
(embaixo) e
(em cima) sobre um intervalo
é dada pela integral definida
Aqui já identificamos
,
e
. Para calcular a integral usamos antiderivadas (primitivas) das funções polinomiais:
para
, e
para constante
.
Passo 5
Montamos a integral que dá a área:
Passo 6
Calculamos a antiderivada termo a termo:
Portanto uma primitiva conveniente é
Passo 7
Avaliamoa
em
:
Calcule
, então
Passando
para ter denominador
:
, então
Passo 8
Agora
:
Isso é
Colocando sobre o mesmo denominador
:
,
,
. Soma:
Passo 9
A área é
:
Colocando em denominador comum
:
. Assim
Como verificação numérica rápida,
, o que faz sentido para uma região com largura
em
e altura média próxima de
.