Determine a área da região limitada pelas curvas y = x^2 - 2x - 3 e y = 0.

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pela parábola y = x^2 - 2x - 3 e pela reta y = 0. Vamos usar o método de integração no intervalo entre os pontos de interseção dessas curvas.

Passo 2

Encontramos os pontos de interseção resolvendo
x^2 - 2x - 3 = 0.
Usando a fórmula de Bhaskara, temos
x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2},
logo x = -1 e x = 3.

Passo 3

Para x entre -1 e 3, a parábola fica abaixo do eixo x (pois em x=1 vale -4). Assim, a função superior é y=0 e a inferior é y = x^2 - 2x - 3.

Passo 4

A área A é dada por
A = \int_{-1}^{3} \bigl[0 - (x^2 - 2x - 3)\bigr]\,dx = \int_{-1}^{3} (-x^2 + 2x + 3)\,dx.

Passo 5

Calculamos a antiderivada:
\int (-x^2 + 2x + 3)\,dx = -\frac{x^3}{3} + x^2 + 3x.
Agora avaliamos de -1 a 3:
\Bigl(-\tfrac{x^3}{3} + x^2 + 3x\Bigr)\Big|_{-1}^{3} = \Bigl(-\tfrac{27}{3} + 9 + 9\Bigr) - \Bigl(-\tfrac{-1}{3} + 1 - 3\Bigr) = ( -9 + 18 ) - \bigl(\tfrac{1}{3} - 2\bigr) = 9 - (-\tfrac{5}{3}) = \frac{32}{3}.

Resposta

A área da região é \displaystyle \frac{32}{3}.

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