Determine a área da região limitada pelas curvas y = x^2 - 4x e y = 0.

Passo 1

Estamos querendo a área da região entre a parábola y = x^2 - 4x e o eixo y=0. Esse é um problema de área entre curvas, em que vamos integrar a diferença (função superior menos função inferior) ao longo do intervalo de interseção.

Passo 2

Primeiro, achamos onde as duas curvas se intersectam, ou seja, resolvemos
x^2 - 4x = 0.
Fatorando, temos x(x - 4)=0, então as raízes são
x=0 \quad\text{e}\quad x=4.

Passo 3

Verificamos qual curva está acima do intervalo 0\le x\le4. Como o gráfico de y=x^2-4x atinge valor negativo entre 0 e 4 (vértice em x=2 y=-4), o eixo y=0 fica acima da parábola nesse trecho. Logo, a área é
\int_{0}^{4}\bigl(\underbrace{0}_{\text{superior}} - \underbrace{(x^2-4x)}_{\text{inferior}}\bigr)\,dx =\int_{0}^{4}(4x - x^2)\,dx.

Passo 4

Agora calculamos a integral. Uma primitiva de 4x - x^2 é
\int (4x - x^2)\,dx =2x^2 - \frac{x^3}{3}.
Avaliamo-la de 0 a 4:

Passo 5

\left[\,2x^2 - \frac{x^3}{3}\right]_{0}^{4} = \Bigl(2\cdot4^2 - \frac{4^3}{3}\Bigr) - \bigl(0\bigr) = \bigl(2\cdot16 - \tfrac{64}{3}\bigr) = 32 - \frac{64}{3} = \frac{96-64}{3} = \frac{32}{3}.

Resposta

A área da região é \displaystyle \frac{32}{3}.

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