Determine a área da região limitada pelas curvas
e
.
Passo 1
O enunciado pede para determinar a área da região limitada pelas curvas
e
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função parabólica
. - A reta
(eixo ). - Queremos a área da região fechada pelas duas curvas.
Não resolvemos nada ainda — só organizamos o que foi pedido e os dados.
Passo 2
Primeiro passo prático: encontrar os pontos de interseção entre as curvas, pois eles dão os limites de integração. Igualamos as duas expressões:
Fatorando,
portanto as interseções são
e
.
Passo 3
Precisamos saber qual curva está “em cima” entre
e
para montar a integral como (topo) − (fundo). Tomemos um ponto interno, por exemplo
. Calculamos
Como
vale zero e a parábola é negativa nesse intervalo, a reta
está acima da parábola para
. Logo a altura vertical da região em cada
é
.
Passo 4
A área
é dada pela integral definida (topo − fundo) entre os limites
e
:
Breve lembrete da ideia: a integral definida
soma infinitesimais retângulos de base
e altura
; aqui usamos
altura vertical entre as curvas.
Passo 5
Calculamos a primitiva (antiderivada) termo a termo usando a regra da potência
:
-
-
Portanto uma antiderivada deé
Passo 6
Agora avaliamos
nos extremos e subtraímos:
Fazendo a conta,
E
. Portanto a área é