Determine a área da região limitada pelas curvas y = x^2 - 3x e y = 0.

Passo 1

O enunciado pede para determinar a área da região limitada pelas curvas y = x^2 - 3x e y = 0.
Informações dadas:
  • A função parabólica y = x^2 - 3x.
  • A reta y = 0 (eixo x).
  • Queremos a área da região fechada pelas duas curvas.
    Não resolvemos nada ainda — só organizamos o que foi pedido e os dados.

Passo 2

Primeiro passo prático: encontrar os pontos de interseção entre as curvas, pois eles dão os limites de integração. Igualamos as duas expressões:
x^2 - 3x = 0.
Fatorando,
x(x-3)=0,
portanto as interseções são x=0 e x=3.

Passo 3

Precisamos saber qual curva está “em cima” entre x=0 e x=3 para montar a integral como (topo) − (fundo). Tomemos um ponto interno, por exemplo x=1. Calculamos
y(1)=1^2-3\cdot1=1-3=-2<0.
Como y=0 vale zero e a parábola é negativa nesse intervalo, a reta y=0 está acima da parábola para 0<x<3. Logo a altura vertical da região em cada x é 0-(x^2-3x)=3x-x^2.

Passo 4

A área A é dada pela integral definida (topo − fundo) entre os limites x=0 e x=3:
A=\int_{0}^{3}\big(0-(x^2-3x)\big)\,dx=\int_{0}^{3}(3x-x^2)\,dx.
Breve lembrete da ideia: a integral definida \int_a^b f(x)\,dx soma infinitesimais retângulos de base dx e altura f(x); aqui usamos f(x)= altura vertical entre as curvas.

Passo 5

Calculamos a primitiva (antiderivada) termo a termo usando a regra da potência \int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}:
  • \displaystyle \int 3x\,dx = 3\cdot\frac{x^2}{2}=\frac{3}{2}x^2.
  • \displaystyle \int x^2\,dx = \frac{x^3}{3}.
    Portanto uma antiderivada de 3x-x^2 é
F(x)=\frac{3}{2}x^2-\frac{1}{3}x^3.

Passo 6

Agora avaliamos F nos extremos e subtraímos:
F(3)=\frac{3}{2}\cdot 3^2 - \frac{1}{3}\cdot 3^3 = \frac{3}{2}\cdot 9 - \frac{1}{3}\cdot 27 = \frac{27}{2}-9.
Fazendo a conta,
\frac{27}{2}-9=\frac{27-18}{2}=\frac{9}{2}.
E F(0)=0. Portanto a área é
A=F(3)-F(0)=\frac{9}{2}.

Resposta

\dfrac{9}{2}

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