Determine a área da região limitada pelas curvas
e
.
Passo 1
O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas
e
. Informações dadas:
- Duas curvas no plano:
e . - A tarefa: determinar a área da região que fica entre essas duas curvas (a região fechada onde elas se cruzam).
Passo 2
Primeiro precisamos achar os pontos de interseção das duas curvas (pois a região limitada estará entre esses pontos). Igualamos as duas expressões:
Colocamos tudo em um lado:
Fatorando
:
As soluções são
e
. Portanto as curvas se cruzam nos pontos
e
.
Passo 3
Precisamos saber qual curva está “por cima” (maior
) entre
e
, porque a área entre curvas é a integral da diferença entre a função de cima e a de baixo. Compare:
Para
temos
e
, logo
. Portanto
Concluímos que, no intervalo entre os pontos de interseção, a curva superior é
e a inferior é
.
Passo 4
Agora usamos a fórmula da área entre duas curvas quando tomamos fatias verticais (método mais básico e direto): se duas funções
(em cima) e
(embaixo) se cruzam em
e
, a área entre elas é
Aqui
,
,
,
. Então montamos a integral:
Explicação do porquê: cada fatia vertical de largura infinitesimal
tem altura
, então somando (integrando) essas fatias de
até
obtemos a área total.
Passo 5
Calculamos a integral passo a passo. Integramos termo a termo:
Logo
Avaliaremos em
e em
:
Fazendo a subtração de frações:
Passo 6
Portanto a área da região limitada pelas curvas
e
é
. Força aí — é uma integração curtinha, mas muito comum em provas!