Determine a área da região limitada pelas curvas y = x^2 e y = x^3.

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas y=x^2 e y=x^3. Informações dadas:
  • Duas curvas no plano: y=x^2 e y=x^3.
  • A tarefa: determinar a área da região que fica entre essas duas curvas (a região fechada onde elas se cruzam).

Passo 2

Primeiro precisamos achar os pontos de interseção das duas curvas (pois a região limitada estará entre esses pontos). Igualamos as duas expressões:
x^2 = x^3.
Colocamos tudo em um lado:
x^3 - x^2 = 0.
Fatorando x^2:
x^2( x - 1 ) = 0.
As soluções são x=0 e x=1. Portanto as curvas se cruzam nos pontos (0,0) e (1,1).

Passo 3

Precisamos saber qual curva está “por cima” (maior y) entre x=0 e x=1, porque a área entre curvas é a integral da diferença entre a função de cima e a de baixo. Compare:
x^2 - x^3 = x^2(1-x).
Para 0 < x < 1 temos x^2>0 e 1-x>0, logo x^2(1-x)>0. Portanto
x^2 > x^3 \quad\text{para }0<x<1.
Concluímos que, no intervalo entre os pontos de interseção, a curva superior é y=x^2 e a inferior é y=x^3.

Passo 4

Agora usamos a fórmula da área entre duas curvas quando tomamos fatias verticais (método mais básico e direto): se duas funções f(x) (em cima) e g(x) (embaixo) se cruzam em x=a e x=b, a área entre elas é
\text{Área}=\int_{a}^{b} \bigl(f(x)-g(x)\bigr)\,dx.Á
Aqui f(x)=x^2, g(x)=x^3, a=0, b=1. Então montamos a integral:
\text{Área}=\int_{0}^{1} \bigl(x^2 - x^3\bigr)\,dx.Á
Explicação do porquê: cada fatia vertical de largura infinitesimal dx tem altura x^2-x^3, então somando (integrando) essas fatias de x=0 até x=1 obtemos a área total.

Passo 5

Calculamos a integral passo a passo. Integramos termo a termo:
\int x^2\,dx = \frac{x^3}{3},\qquad \int x^3\,dx = \frac{x^4}{4}.
Logo
\int_{0}^{1} \bigl(x^2 - x^3\bigr)\,dx = \left[\frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4}\right]_{0}^{1}.
Avaliaremos em x=1 e em x=0:
\left(\frac{1^3}{3} - \frac{1^4}{4}\right) - \left(\frac{0^3}{3} - \frac{0^4}{4}\right) = \frac{1}{3} - \frac{1}{4}.
Fazendo a subtração de frações:
\frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{4}{12} - \frac{3}{12} = \frac{1}{12}.

Passo 6

Portanto a área da região limitada pelas curvas y=x^2 e y=x^3 é \dfrac{1}{12}. Força aí — é uma integração curtinha, mas muito comum em provas!

Resposta

\dfrac{1}{12}

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