Determine a área da região limitada pelas curvas
e
.
Passo 1
O que o problema pede: determinar a área da região limitada pelas curvas
e
.
Informações dadas:
- Uma curva é a parábola
. - A outra curva é a reta
. - A região limitada é a área compreendida entre essas duas curvas onde elas se interceptam.
Observação sobre a imagem: eu observei a imagem enviada, mas todas as informações necessárias para resolver a questão estão no enunciado (as duas equações). Não foi preciso usar dados extras da imagem.
Passo 2
Encontrar os pontos de interseção (esses serão os limites de integração). Igualamos as duas funções:
Reorganizando,
Fatorando o polinômio:
Logo os valores de
onde se interceptam são
e
. Esses serão os limites da integral.
Passo 3
Determinar qual curva está “por cima” (maior
) entre
e
, para integrar sempre (topo) − (inferior). Avaliamos, por exemplo, em
:
A reta tem valor maior, portanto para
temos
e
. Para obter a área usamos a integral da diferença (sempre positiva):
.
Passo 4
Montar a integral da área:
Simplificando o integrando:
Portanto
Passo 5
Calcular a antiderivada termo a termo. Lembrando as regras básicas:
-
para . -
.
Aplicando:
Assim uma primitiva é
Passo 6
Avaliar a integral definida usando
:
Calculemos
:
Calculemos
:
Colocando em denominador comum
:
Agora a diferença: