Determine a área da região limitada pelas curvas y = x^2 - 1 e y = x + 1.

Passo 1

O que o problema pede: determinar a área da região limitada pelas curvas y = x^2 - 1 e y = x + 1.
Informações dadas:
  • Uma curva é a parábola y = x^2 - 1.
  • A outra curva é a reta y = x + 1.
  • A região limitada é a área compreendida entre essas duas curvas onde elas se interceptam.
Observação sobre a imagem: eu observei a imagem enviada, mas todas as informações necessárias para resolver a questão estão no enunciado (as duas equações). Não foi preciso usar dados extras da imagem.

Passo 2

Encontrar os pontos de interseção (esses serão os limites de integração). Igualamos as duas funções:
x^2 - 1 = x + 1.
Reorganizando,
x^2 - x - 2 = 0.
Fatorando o polinômio:
x^2 - x - 2 = (x-2)(x+1) = 0.
Logo os valores de x onde se interceptam são x=2 e x=-1. Esses serão os limites da integral.

Passo 3

Determinar qual curva está “por cima” (maior y) entre x=-1 e x=2, para integrar sempre (topo) − (inferior). Avaliamos, por exemplo, em x=0:
\text{reta: } y = 0 + 1 = 1,\qquad \text{parábola: } y = 0^2 - 1 = -1.á
A reta tem valor maior, portanto para x\in[-1,2] temos y_{\text{topo}} = x+1 e y_{\text{baixo}} = x^2 -1. Para obter a área usamos a integral da diferença (sempre positiva): y_{\text{topo}}-y_{\text{baixo}}.

Passo 4

Montar a integral da área:
\text{Área} = \int_{-1}^{2} \big[(x+1) - (x^2-1)\big]\,dx.Á
Simplificando o integrando:
(x+1)-(x^2-1) = -x^2 + x + 2.
Portanto
\text{Área} = \int_{-1}^{2} (-x^2 + x + 2)\,dx.Á

Passo 5

Calcular a antiderivada termo a termo. Lembrando as regras básicas:
  • \int x^n\,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} para n\neq -1.
  • \int ax\,dx = a\cdot \dfrac{x^2}{2}.
    Aplicando:
\int (-x^2)\,dx = -\dfrac{x^3}{3},\qquad \int x\,dx = \dfrac{x^2}{2},\qquad \int 2\,dx = 2x.
Assim uma primitiva é
F(x) = -\dfrac{x^3}{3} + \dfrac{x^2}{2} + 2x.

Passo 6

Avaliar a integral definida usando F(x):
\text{Área} = F(2) - F(-1).Á
Calculemos F(2):
F(2) = -\dfrac{2^3}{3} + \dfrac{2^2}{2} + 2\cdot 2 = -\dfrac{8}{3} + \dfrac{4}{2} + 4 = -\dfrac{8}{3} + 2 + 4 = -\dfrac{8}{3} + 6 = \dfrac{-8 + 18}{3} = \dfrac{10}{3}.
Calculemos F(-1):
F(-1) = -\dfrac{(-1)^3}{3} + \dfrac{(-1)^2}{2} + 2(-1) = -\left(-\dfrac{1}{3}\right) + \dfrac{1}{2} - 2 = \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{2} - 2.
Colocando em denominador comum 6:
F(-1) = \dfrac{2}{6} + \dfrac{3}{6} - \dfrac{12}{6} = -\dfrac{7}{6}.
Agora a diferença:
\text{Área} = \dfrac{10}{3} - \left(-\dfrac{7}{6}\right) = \dfrac{10}{3} + \dfrac{7}{6} = \dfrac{20}{6} + \dfrac{7}{6} = \dfrac{27}{6} = \dfrac{9}{2}.Á

Resposta

\dfrac{9}{2}

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