Passo 1
O que o problema pede: calcular o valor do limite
.\n
Informações dadas e observações iniciais: é a função arco-tangente; quando
temos
. Portanto o quociente tem a forma indeterminada
. Não há outros dados numéricos; a questão é determinar o valor desse limite.
Informações dadas e observações iniciais:
Passo 2
Vamos fazer a substituição natural que liga
e
. Defina
. Então
e, quando
, temos
. Substituindo no limite obtemos
Agora escrevemos
, então
Passo 3
Precisamos do comportamento de
quando
. Um resultado clássico (que devemos conhecer ou demonstrar) é
Vou recordar rapidamente uma demonstração elementar por desigualdade (squeeze): para
vale a desigualdade geométrica
Isso vem de comparar áreas num triângulo, setor circular e triângulo inscrito (argumento geométrico padrão). Como
, pela regra do sanduíche (squeeze theorem) segue que
. Pela paridade de
(função ímpar) o resultado vale também quando
por ambos os lados.
Passo 4
Do item anterior temos então
Também sabemos que
é contínua e
, logo
Como
, o limite do produto é o produto dos limites (quando existem). Portanto
Passo 5
Voltando à variável original, concluímos que