\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan ^{-1} x}{x}

Passo 1

O que o problema pede: calcular o valor do limite \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\tan^{-1} x}{x}.\n
Informações dadas e observações iniciais: \tan^{-1} x é a função arco-tangente; quando x\to 0 temos \tan^{-1}x\to \tan^{-1}0=0. Portanto o quociente tem a forma indeterminada 0/0. Não há outros dados numéricos; a questão é determinar o valor desse limite.

Passo 2

Vamos fazer a substituição natural que liga \tan^{-1} e \tan. Defina y=\tan^{-1}x. Então x=\tan y e, quando x\to 0, temos y\to 0. Substituindo no limite obtemos
\lim_{x\to 0}\frac{\tan^{-1}x}{x}=\lim_{y\to 0}\frac{y}{\tan y}.
Agora escrevemos \tan y=\dfrac{\sin y}{\cos y}, então
\frac{y}{\tan y}=y\cdot\frac{\cos y}{\sin y}=\cos y\cdot\frac{y}{\sin y}.

Passo 3

Precisamos do comportamento de \dfrac{y}{\sin y} quando y\to 0. Um resultado clássico (que devemos conhecer ou demonstrar) é
\lim_{y\to 0}\frac{\sin y}{y}=1.
Vou recordar rapidamente uma demonstração elementar por desigualdade (squeeze): para 0<y<\tfrac{\pi}{2} vale a desigualdade geométrica
\cos y < \frac{\sin y}{y} < 1.
Isso vem de comparar áreas num triângulo, setor circular e triângulo inscrito (argumento geométrico padrão). Como \lim_{y\to 0}\cos y=1, pela regra do sanduíche (squeeze theorem) segue que \lim_{y\to 0}\dfrac{\sin y}{y}=1. Pela paridade de \sin (função ímpar) o resultado vale também quando y\to 0 por ambos os lados.

Passo 4

Do item anterior temos então
\lim_{y\to 0}\frac{y}{\sin y}=1.
Também sabemos que \cos y é contínua e \cos 0=1, logo
\lim_{y\to 0}\cos y=1.
Como \frac{y}{\tan y}=\cos y\cdot\frac{y}{\sin y}, o limite do produto é o produto dos limites (quando existem). Portanto
\lim_{y\to 0}\frac{y}{\tan y}=\left(\lim_{y\to 0}\cos y\right)\left(\lim_{y\to 0}\frac{y}{\sin y}\right)=1\cdot 1=1.

Passo 5

Voltando à variável original, concluímos que
\lim_{x\to 0}\frac{\tan^{-1}x}{x}=1.

Resposta

1

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