Determine a área da região limitada pelas curvas y = -x^2 + 3 e y = 1.

Passo 1

O enunciado pede a área da região em que a parábola
y = -x^2 + 3
fica acima da reta
y = 1.
Para isso, vamos (1) encontrar os pontos de interseção, que definirão os limites de integração em x, e em seguida (2) calcular a integral da diferença entre a função superior e a inferior.

Passo 2

Determinar os pontos de interseção resolvendo
-x^2 + 3 = 1.
Isso leva a
-x^2 = -2 \quad\Longrightarrow\quad x^2 = 2 \quad\Longrightarrow\quad x = \pm \sqrt{2}.
Logo, a região está para -\sqrt{2}\le x\le \sqrt{2}, com y_{\text{sup}} = -x^2+3 e y_{\text{inf}} = 1.

Passo 3

A área A é dada por
A = \int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}\bigl[\underbrace{(-x^2+3)}_{y_{\text{sup}}} \;-\;\underbrace{1}_{y_{\text{inf}}}\bigr]\;dx = \int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}(-x^2 + 2)\,dx.

Passo 4

Calcular a integral:
\int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}(-x^2 + 2)\,dx = \Bigl[-\tfrac{x^3}{3}+2x\Bigr]_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} = \bigl(4\sqrt{2}/3\bigr)-\bigl(-4\sqrt{2}/3\bigr) = \tfrac{8\sqrt{2}}{3}.

Resposta

\frac{8\sqrt{2}}{3}.

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