Determine a área da região limitada pelas curvas
e
.
Passo 1
O enunciado pede a área da região limitada pelas duas curvas
e
.\n
Informações dadas:
Informações dadas:
- Duas funções explícitas em termos de
: e .\n
O que precisamos encontrar: - A área da região onde essas duas curvas se interceptam e fecham uma região limitada.
Passo 2
Vamos achar os pontos de interseção (esses serão os limites de integração). Igualamos as duas expressões para
:
Somando
dos dois lados e somando
aos dois lados:
Dividindo por
:
Portanto
Para obter a coordenada
em cada ponto, substituímos
em uma das curvas (as duas dão o mesmo
):
Logo os pontos de interseção são
e
.
Passo 3
Precisamos saber qual curva está acima (maior
) entre
e
. Avaliando em um ponto interior, por exemplo
:
Como
, a curva
está acima e
está abaixo no intervalo entre as interseções. Portanto a altura vertical da região, para cada
entre
e
, é
Passo 4
Simplificamos a expressão da altura:
A área
da região limitada é a integral definida dessa altura entre os pontos de interseção:
Explicação do porquê: a área entre duas curvas
e
sobre um intervalo
é
. Aqui
e
.
Passo 5
Calculemos a primitiva (antiderivada) do integrando usando a regra da potência:
.
Chamando essa antiderivada de
.
Passo 6
Avaliamos a integral definida entre
e
:
Calcule
:
Calcule
:
Agora a diferença:
Observação rápida: também daria para notar que o integrando é função par, então
, que produz o mesmo resultado.
Passo 7
Concluímos que a área da região limitada pelas curvas é
. Força aí — esse tipo de integral cai direto na prova quando você identifica os pontos de interseção e lembra que área = integral do topo menos o fundo!