Determine a área da região limitada pelas curvas y = x^2 - 1 e y = 7 - x^2.

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas duas curvas y = x^2 - 1 e y = 7 - x^2.\n
Informações dadas:
  • Duas funções explícitas em termos de x: y=x^2-1 e y=7-x^2.\n
    O que precisamos encontrar:
  • A área da região onde essas duas curvas se interceptam e fecham uma região limitada.

Passo 2

Vamos achar os pontos de interseção (esses serão os limites de integração). Igualamos as duas expressões para y:
x^2 - 1 = 7 - x^2.
Somando x^2 dos dois lados e somando 1 aos dois lados:
2x^2 = 8.
Dividindo por 2:
x^2 = 4.
Portanto
x = \pm 2.
Para obter a coordenada y em cada ponto, substituímos x=2 em uma das curvas (as duas dão o mesmo y):
y = 2^2 - 1 = 4 - 1 = 3.
Logo os pontos de interseção são (-2,3) e (2,3).

Passo 3

Precisamos saber qual curva está acima (maior y) entre x=-2 e x=2. Avaliando em um ponto interior, por exemplo x=0:
y_{\text{parabola1}} = 0^2 - 1 = -1,
y_{\text{parabola2}} = 7 - 0^2 = 7.
Como 7 > -1, a curva y=7-x^2 está acima e y=x^2-1 está abaixo no intervalo entre as interseções. Portanto a altura vertical da região, para cada x entre -2 e 2, é
\text{altura}(x) = (7 - x^2) - (x^2 - 1).

Passo 4

Simplificamos a expressão da altura:
(7 - x^2) - (x^2 - 1) = 7 - x^2 - x^2 + 1 = 8 - 2x^2.
A área A da região limitada é a integral definida dessa altura entre os pontos de interseção:
A = \int_{-2}^{2} \bigl(8 - 2x^2\bigr)\,dx.
Explicação do porquê: a área entre duas curvas y_{\text{top}}(x) e y_{\text{bot}}(x) sobre um intervalo [a,b] é \int_a^b (y_{\text{top}}-y_{\text{bot}})\,dx. Aqui y_{\text{top}}=7-x^2 e y_{\text{bot}}=x^2-1.

Passo 5

Calculemos a primitiva (antiderivada) do integrando usando a regra da potência: \int x^n dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1}.
\int (8 - 2x^2)\,dx = \int 8\,dx - 2\int x^2\,dx = 8x - 2\cdot \frac{x^3}{3} = 8x - \frac{2}{3}x^3.
Chamando essa antiderivada de F(x)=8x - \dfrac{2}{3}x^3.

Passo 6

Avaliamos a integral definida entre -2 e 2:
A = F(2) - F(-2).
Calcule F(2):
F(2)=8\cdot 2 - \frac{2}{3}\cdot 2^3 = 16 - \frac{2}{3}\cdot 8 = 16 - \frac{16}{3} = \frac{48}{3} - \frac{16}{3} = \frac{32}{3}.
Calcule F(-2):
F(-2)=8\cdot(-2) - \frac{2}{3}\cdot(-2)^3 = -16 - \frac{2}{3}\cdot(-8) = -16 + \frac{16}{3} = -\frac{48}{3} + \frac{16}{3} = -\frac{32}{3}.
Agora a diferença:
A = \frac{32}{3} - \left(-\frac{32}{3}\right) = \frac{64}{3}.
Observação rápida: também daria para notar que o integrando é função par, então A=2\int_0^2 (8-2x^2)\,dx, que produz o mesmo resultado.

Passo 7

Concluímos que a área da região limitada pelas curvas é \dfrac{64}{3}. Força aí — esse tipo de integral cai direto na prova quando você identifica os pontos de interseção e lembra que área = integral do topo menos o fundo!

Resposta

\dfrac{64}{3}

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