Determine a área da região limitada pelas curvas y = 1/(2x+1) e y = 1/(x+1) e a reta x = 1.

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas y=\dfrac{1}{2x+1}, y=\dfrac{1}{x+1} e pela reta vertical x=1.
Informações dadas: as duas funções racionais y=\dfrac{1}{2x+1} e y=\dfrac{1}{x+1} e a reta x=1.
Pergunta explícita: calcular a área da região que fica entre essas duas curvas e tem como uma das fronteiras a reta x=1.

Passo 2

Para obter uma região fechada precisamos do intervalo em x onde as duas curvas se encontram (esse será o outro limite vertical). Então primeiro encontramos os pontos de interseção das duas curvas resolvendo
\frac{1}{2x+1}=\frac{1}{x+1}.
Faço a igualdade cruzada para resolver:
2x+1 = x+1 \Rightarrow 2x - x = 1-1 \Rightarrow x=0.
Logo elas se intersectam em x=0. O ponto de interseção tem coordenada y=\dfrac{1}{0+1}=1. Portanto a região está entre x=0 e x=1.

Passo 3

Antes de integrar, preciso saber qual função é a superior (maior y) no intervalo [0,1]. Calculo a diferença
\frac{1}{x+1}-\frac{1}{2x+1}=\frac{(2x+1)-(x+1)}{(x+1)(2x+1)}=\frac{x}{(x+1)(2x+1)}.
Para x\in(0,1] o numerador x>0 e o denominador também é positivo, então a diferença é positiva. Em x=0 são iguais. Conclusão: em [0,1] a função superior é y=\dfrac{1}{x+1} e a inferior é y=\dfrac{1}{2x+1}.

Passo 4

A área entre duas curvas y=f(x) (acima) e y=g(x) (abaixo) no intervalo [a,b] é
\text{Área}=\int_{a}^{b}\bigl(f(x)-g(x)\bigr)\,dx.Á
Aqui a=0, b=1, f(x)=\dfrac{1}{x+1}, g(x)=\dfrac{1}{2x+1}. Então monto a integral:
\text{Área}=\int_{0}^{1}\left(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{2x+1}\right)dx.Á

Passo 5

Preciso achar as primitivas. Uso a fórmula básica: para a\neq0,
\int \frac{1}{ax+b}\,dx=\frac{1}{a}\ln|ax+b|+C.
Explicação curta do porquê: se u=ax+b então du=a\,dx e dx=\frac{du}{a}, assim \int \frac{1}{ax+b}dx=\int \frac{1}{u}\cdot\frac{du}{a}=\frac{1}{a}\ln|u|+C.
Aplicando aqui:
\int \frac{1}{x+1}dx=\ln|x+1|+C, \qquad \int \frac{1}{2x+1}dx=\frac{1}{2}\ln|2x+1|+C.

Passo 6

Calculo a integral definida usando as primitivas:
\begin{aligned} \text{Área}&=\left[\ln(x+1)-\frac{1}{2}\ln(2x+1)\right]_{0}^{1}\\[4pt] &=\left(\ln 2-\frac{1}{2}\ln 3\right)-\left(\ln 1-\frac{1}{2}\ln 1\right). \end{aligned}Á
Como \ln 1=0, o segundo parêntese é zero. Portanto
\text{Área}=\ln 2-\tfrac{1}{2}\ln 3.Á
Posso também reescrever usando propriedades de logaritmo:
\text{Área}=\ln\!\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right).Á
Valor numérico aproximado (cheque): \ln 2\approx 0{,}693147, \tfrac{1}{2}\ln 3\approx 0{,}549306, diferença \approx 0{,}143841.]

Resposta

\ln 2-\tfrac{1}{2}\ln 3

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