Determine a área da região limitada pelas curvas
e
e a reta
.
Passo 1
O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas
,
e pela reta vertical
.
Informações dadas: as duas funções racionais e
e a reta
.
Pergunta explícita: calcular a área da região que fica entre essas duas curvas e tem como uma das fronteiras a reta .
Informações dadas: as duas funções racionais
Pergunta explícita: calcular a área da região que fica entre essas duas curvas e tem como uma das fronteiras a reta
Passo 2
Para obter uma região fechada precisamos do intervalo em
onde as duas curvas se encontram (esse será o outro limite vertical). Então primeiro encontramos os pontos de interseção das duas curvas resolvendo
Faço a igualdade cruzada para resolver:
Logo elas se intersectam em
. O ponto de interseção tem coordenada
. Portanto a região está entre
e
.
Passo 3
Antes de integrar, preciso saber qual função é a superior (maior
) no intervalo
. Calculo a diferença
Para
o numerador
e o denominador também é positivo, então a diferença é positiva. Em
são iguais. Conclusão: em
a função superior é
e a inferior é
.
Passo 4
A área entre duas curvas
(acima) e
(abaixo) no intervalo
é
Aqui
,
,
,
. Então monto a integral:
Passo 5
Preciso achar as primitivas. Uso a fórmula básica: para
,
Explicação curta do porquê: se
então
e
, assim
.
Aplicando aqui:
Passo 6
Calculo a integral definida usando as primitivas:
Como
, o segundo parêntese é zero. Portanto
Posso também reescrever usando propriedades de logaritmo:
Valor numérico aproximado (cheque):
,
, diferença
.]