Determine a área da região limitada pelas curvas y = x^2 e y = x^4.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a área da região limitada pelas curvas y=x^2 e y=x^4.
Informações dadas:
  • As duas curvas são y=x^2 e y=x^4.
  • A região limitada é a parte do plano onde as duas curvas se interceptam e formam um recinto fechado.
Objetivo imediato: encontrar os pontos de interseção das duas curvas e, com isso, montar a integral que dá a área entre elas.

Passo 2

Encontrar os pontos de interseção: resolvemos a equação obtida igualando as funções, pois onde as curvas se cruzam seus y são iguais:
x^2 = x^4.
Para resolver, trazemos tudo para um lado:
x^4 - x^2 = 0.
Fatoramos x^2:
x^2( x^2 - 1 ) = 0.
As soluções são as raízes dos fatores:
x^2 = 0 \implies x=0,
x^2 - 1 = 0 \implies x = \pm 1.
Portanto, as curvas se intersectam nos pontos x=-1, x=0 e x=1.

Passo 3

Determinar qual curva está acima (maior y) entre os pontos de interseção. Olhamos o sinal de x^2 - x^4 no intervalo entre -1 e 1.
Note que
x^2 - x^4 = x^2(1-x^2).
Para -1 < x < 1 temos x^2>0 e 1-x^2>0, então x^2(1-x^2)>0. Assim, em (-1,1) vale
x^2 - x^4 > 0 \quad\Rightarrow\quad x^2 > x^4.
Logo, entre -1 e 1 a curva superior é y=x^2 e a inferior é y=x^4.

Passo 4

Formular a integral que dá a área entre as curvas: a área entre duas curvas y=f(x) (acima) e y=g(x) (abaixo) no intervalo [a,b] é
\text{Área}=\int_{a}^{b} \big(f(x)-g(x)\big)\,dx.Á
Aqui f(x)=x^2, g(x)=x^4, e os limites são a=-1 e b=1. Portanto
\text{Área}=\int_{-1}^{1} \big(x^2-x^4\big)\,dx.Á

Passo 5

Usar simetria para simplificar: as funções x^2 e x^4 são pares (isto é, f(-x)=f(x)), então a diferença x^2-x^4 também é par. Para uma função par,
\int_{-1}^{1} h(x)\,dx = 2\int_{0}^{1} h(x)\,dx.
Assim
\text{Área}=2\int_{0}^{1} \big(x^2-x^4\big)\,dx.Á

Passo 6

Calcular a primitiva (antiderivada): regras básicas de integração que usamos aqui são
  • \displaystyle \int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C para n\neq -1.
    Aplicando a cada termo,
\int x^2\,dx = \frac{x^3}{3},\qquad \int x^4\,dx = \frac{x^5}{5}.
Portanto a antiderivada de x^2-x^4 é
\frac{x^3}{3}-\frac{x^5}{5}.

Passo 7

Avaliar a integral definida usando a antiderivada e os limites de 0 a 1:
\int_{0}^{1} \big(x^2-x^4\big)\,dx = \left[\frac{x^3}{3}-\frac{x^5}{5}\right]_{0}^{1} = \left(\frac{1^3}{3}-\frac{1^5}{5}\right)-\left(\frac{0^3}{3}-\frac{0^5}{5}\right).
Como os termos em zero são nulos, obtemos
\int_{0}^{1} \big(x^2-x^4\big)\,dx = \frac{1}{3}-\frac{1}{5}.
Colocando em denominador comum:
\frac{1}{3}-\frac{1}{5}=\frac{5-3}{15}=\frac{2}{15}.

Passo 8

Voltando à área total com o fator 2 da simetria:
\text{Área}=2\cdot\frac{2}{15}=\frac{4}{15}.Á
Interpretando: a área finita entre y=x^2 e y=x^4 limitada pelas interseções em -1,0,1 é \dfrac{4}{15}.

Resposta

\dfrac{4}{15}

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