Determine a área da região limitada pelas curvas
e
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar a área da região limitada pelas curvas
e
.
Informações dadas:
- As duas curvas são
e . - A região limitada é a parte do plano onde as duas curvas se interceptam e formam um recinto fechado.
Objetivo imediato: encontrar os pontos de interseção das duas curvas e, com isso, montar a integral que dá a área entre elas.
Passo 2
Encontrar os pontos de interseção: resolvemos a equação obtida igualando as funções, pois onde as curvas se cruzam seus
são iguais:
Para resolver, trazemos tudo para um lado:
Fatoramos
:
As soluções são as raízes dos fatores:
Portanto, as curvas se intersectam nos pontos
,
e
.
Passo 3
Determinar qual curva está acima (maior
) entre os pontos de interseção. Olhamos o sinal de
no intervalo entre
e
.
Note que
Para
temos
e
, então
. Assim, em
vale
Logo, entre
e
a curva superior é
e a inferior é
.
Passo 4
Formular a integral que dá a área entre as curvas: a área entre duas curvas
(acima) e
(abaixo) no intervalo
é
Aqui
,
, e os limites são
e
. Portanto
Passo 5
Usar simetria para simplificar: as funções
e
são pares (isto é,
), então a diferença
também é par. Para uma função par,
Assim
Passo 6
Calcular a primitiva (antiderivada): regras básicas de integração que usamos aqui são
-
para .
Aplicando a cada termo,
Portanto a antiderivada de
é
Passo 7
Avaliar a integral definida usando a antiderivada e os limites de
a
:
Como os termos em zero são nulos, obtemos
Colocando em denominador comum:
Passo 8
Voltando à área total com o fator
da simetria:
Interpretando: a área finita entre
e
limitada pelas interseções em
é
.