Determine a área da região limitada pelas curvas
e
.
Passo 1
O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas
e
.\n
Informações dadas:
Informações dadas:
- Curva 1:
.\n - Curva 2:
.\n - Devemos encontrar a área da região fechada onde essas duas curvas se interceptam.
Passo 2
Encontrar os pontos de interseção (essas serão os limites de integração). Igualamos as duas expressões para
:
Agora resolvemos essa equação passo a passo. Primeiro subtraímos
dos dois lados:
Desenvolvendo o parêntese:
Agrupando termos semelhantes:
Fatorando:
Portanto as soluções são
e
.\n
Calculamos os correspondentes valores de (podemos usar a reta
que é mais simples):
Calculamos os correspondentes valores de
Os pontos de interseção são
e
.
Passo 3
Determinar qual curva está por cima (topo) no intervalo de
entre
e
. Escolhemos um ponto teste, por exemplo
.
Avaliaremos as duas funções em
:
Como
, a reta
está acima da parábola
para
. Portanto, o integrando será (reta) menos (parábola).
Passo 4
Fórmula e montagem da integral para a área entre curvas: a área
é
Aqui
e
, e a curva de cima é
enquanto a de baixo é
. Então o integrando é
Vamos simplificar o integrando passo a passo:
Portanto
Passo 5
Calcular a integral. Primeiro achamos uma primitiva de
. Lembrando que
para
.
Aplicando termo a termo:
Logo uma primitiva é
Agora avaliamos de
a
:
Calculando os números:
Para subtrair frações, colocamos denominador comum
: