Determine a área da região limitada pelas curvas y = x^2 - 2x + 1 e y = 1 - x.

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas y = x^2 - 2x + 1 e y = 1 - x.\n
Informações dadas:
  • Curva 1: y = x^2 - 2x + 1.\n
  • Curva 2: y = 1 - x.\n
  • Devemos encontrar a área da região fechada onde essas duas curvas se interceptam.

Passo 2

Encontrar os pontos de interseção (essas serão os limites de integração). Igualamos as duas expressões para y:
x^2 - 2x + 1 = 1 - x
Agora resolvemos essa equação passo a passo. Primeiro subtraímos 1 - x dos dois lados:
x^2 - 2x + 1 - (1 - x) = 0
Desenvolvendo o parêntese:
x^2 - 2x + 1 - 1 + x = 0
Agrupando termos semelhantes:
x^2 - x = 0
Fatorando:
x(x - 1) = 0
Portanto as soluções são x = 0 e x = 1.\n
Calculamos os correspondentes valores de y (podemos usar a reta y=1-x que é mais simples):
\text{Para } x=0:\; y = 1 - 0 = 1.
\text{Para } x=1:\; y = 1 - 1 = 0.
Os pontos de interseção são (0,1) e (1,0).

Passo 3

Determinar qual curva está por cima (topo) no intervalo de x entre 0 e 1. Escolhemos um ponto teste, por exemplo x=\tfrac{1}{2}.
Avaliaremos as duas funções em x=\tfrac{1}{2}:
y_{\text{parábola}} = \left(\tfrac{1}{2}\right)^2 - 2\cdot\tfrac{1}{2} + 1 = \tfrac{1}{4} -1 +1 = \tfrac{1}{4}.á
y_{\text{reta}} = 1 - \tfrac{1}{2} = \tfrac{1}{2}.
Como \tfrac{1}{2} > \tfrac{1}{4}, a reta y=1-x está acima da parábola y=x^2-2x+1 para 0<x<1. Portanto, o integrando será (reta) menos (parábola).

Passo 4

Fórmula e montagem da integral para a área entre curvas: a área A é
A = \int_{a}^{b} \big(\text{curva de cima} - \text{curva de baixo}\big)\,dx.
Aqui a=0 e b=1, e a curva de cima é 1-x enquanto a de baixo é x^2-2x+1. Então o integrando é
(1 - x) - (x^2 - 2x + 1).
Vamos simplificar o integrando passo a passo:
(1 - x) - (x^2 - 2x + 1) = 1 - x - x^2 + 2x - 1
= -x^2 + x
= x - x^2.
Portanto
A = \int_{0}^{1} \big(x - x^2\big)\,dx.

Passo 5

Calcular a integral. Primeiro achamos uma primitiva de x - x^2. Lembrando que \int x^n dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} para n\neq -1.
Aplicando termo a termo:
\int x\,dx = \frac{x^2}{2},
\int x^2\,dx = \frac{x^3}{3}.
Logo uma primitiva é
F(x) = \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}.
Agora avaliamos de 0 a 1:
A = F(1) - F(0) = \left(\frac{1^2}{2} - \frac{1^3}{3}\right) - \left(0 - 0\right).
Calculando os números:
A = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}.
Para subtrair frações, colocamos denominador comum 6:
\frac{1}{2} = \frac{3}{6},\quad \frac{1}{3} = \frac{2}{6},
A = \frac{3}{6} - \frac{2}{6} = \frac{1}{6}.

Resposta

\dfrac{1}{6}

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