Determine a área da região limitada pelas curvas
e
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar a área da região limitada pelas curvas
e
.
Informações dadas: as duas curvas são as funções reais e
. A tarefa típica é encontrar os pontos de interseção e, entre esses pontos, integrar a diferença entre a função de cima e a de baixo.
Informações dadas: as duas curvas são as funções reais
Passo 2
Primeiro passo prático: encontrar os pontos de interseção, ou seja resolver a equação
Reescrevendo:
Passo 3
Vamos fatorar o polinômio. Testando raízes inteiras simples,
é raiz porque
Logo dividimos o polinômio por
e obtemos
A equação
tem discriminante
portanto essa quadrática não tem raízes reais. Concluímos que há exatamente uma interseção real entre as curvas, correspondente a
. O ponto de interseção é
Passo 4
Análise de qual curva fica acima em diferentes intervalos de
. Considere a função diferença
- Para
, , ou seja está acima de em . - Para
, , ou seja está acima em .
Como há apenas uma raiz real em, o sinal de muda apenas uma vez: para (parábola acima) e para (cúbica acima).
Passo 5
Interpretação geométrica: as duas curvas se cruzam apenas no ponto
. Para formar uma região fechada e com área finita entre duas curvas é necessário que elas se interceptem em pelo menos dois pontos distintos de abscissa (ou que haja outras curvas/retas que completem o contorno). Aqui não existe um segundo ponto de interseção real entre
e
. Portanto não existe uma região limitada por essas duas curvas apenas.
Passo 6
Comentário didático sobre o procedimento que normalmente usaríamos caso houvesse duas interseções reais
: a área entre as curvas seria
No nosso caso, como há somente um ponto de interseção, não há escolha de
e
distintos que definam uma região fechada entre as duas curvas. Tentar integrar a diferença numa extensão infinita (por exemplo de
até
) dá área infinita (a integral impropria diverge), então não existe área finita limitada somente por essas duas curvas.
Resposta
Não existe região limitada finita apenas por
e
; as curvas se intersectam apenas em
, portanto não há área finita entre elas.