Determine a área da região limitada pelas curvas y = x^3 e y = 2 - x^2.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a área da região limitada pelas curvas y=x^3 e y=2-x^2.
Informações dadas: as duas curvas são as funções reais y=x^3 e y=2-x^2. A tarefa típica é encontrar os pontos de interseção e, entre esses pontos, integrar a diferença entre a função de cima e a de baixo.

Passo 2

Primeiro passo prático: encontrar os pontos de interseção, ou seja resolver a equação
x^3 = 2 - x^2.
Reescrevendo:
x^3 + x^2 - 2 = 0.

Passo 3

Vamos fatorar o polinômio. Testando raízes inteiras simples, x=1 é raiz porque
1^3 + 1^2 - 2 = 1 + 1 - 2 = 0.
Logo dividimos o polinômio por (x-1) e obtemos
x^3 + x^2 - 2 = (x-1)(x^2+2x+2).
A equação x^2+2x+2=0 tem discriminante
\Delta = 2^2 - 4\cdot1\cdot2 = 4 - 8 = -4 < 0,
portanto essa quadrática não tem raízes reais. Concluímos que há exatamente uma interseção real entre as curvas, correspondente a x=1. O ponto de interseção é
x=1,\qquad y=1^3=1.

Passo 4

Análise de qual curva fica acima em diferentes intervalos de x. Considere a função diferença
g(x)= (2-x^2) - x^3 = -x^3 - x^2 + 2.
  • Para x=0, g(0)=2>0, ou seja y=2-x^2 está acima de y=x^3 em x=0.
  • Para x=2, g(2)= -8 -4 +2 = -10<0, ou seja y=x^3 está acima em x=2.
    Como há apenas uma raiz real em x=1, o sinal de g(x) muda apenas uma vez: g(x)>0 para x<1 (parábola acima) e g(x)<0 para x>1 (cúbica acima).

Passo 5

Interpretação geométrica: as duas curvas se cruzam apenas no ponto (1,1). Para formar uma região fechada e com área finita entre duas curvas é necessário que elas se interceptem em pelo menos dois pontos distintos de abscissa (ou que haja outras curvas/retas que completem o contorno). Aqui não existe um segundo ponto de interseção real entre y=x^3 e y=2-x^2. Portanto não existe uma região limitada por essas duas curvas apenas.

Passo 6

Comentário didático sobre o procedimento que normalmente usaríamos caso houvesse duas interseções reais a<b: a área entre as curvas seria
\text{Área}=\int_{a}^{b} \big(\text{função de cima} - \text{função de baixo}\big)\,dx.Áçãçã
No nosso caso, como há somente um ponto de interseção, não há escolha de a e b distintos que definam uma região fechada entre as duas curvas. Tentar integrar a diferença numa extensão infinita (por exemplo de -\infty até 1) dá área infinita (a integral impropria diverge), então não existe área finita limitada somente por essas duas curvas.

Resposta

Não existe região limitada finita apenas por y=x^3 e y=2-x^2; as curvas se intersectam apenas em (1,1), portanto não há área finita entre elas.

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