Determine a área da região limitada pelas curvas
e
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar a área da região limitada pelas curvas
e
.\n
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
A região limitada é o conjunto de pontos
que estão entre essas duas curvas e que formam uma região fechada (ou seja, as curvas se interceptam em dois pontos que definem o intervalo de integração). Neste passo apenas identifiquei o que o problema pede e quais são as curvas; não fiz cálculos ainda.
Passo 2
Vamos achar os pontos de interseção das curvas porque eles serão os limites do intervalo de integração. Para intersecar, igualamos as duas expressões de
:
Reescrevendo em forma padrão:
Isto é uma equação quadrática. Vou resolver usando a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). Para uma equação
, as raízes são
Aqui
,
,
. Calculando o discriminante:
Logo as raízes são
Portanto as interseções ocorrem em
e
Passo 3
Agora precisamos saber qual curva está acima (maior
) no intervalo entre
e
, porque a área entre curvas é dada pela integral da função superior menos a função inferior.\n
Para verificar, escolhemos um ponto teste dentro do intervalo, por exemplo . Calculamos:
Para verificar, escolhemos um ponto teste dentro do intervalo, por exemplo
Como
, no ponto teste (e, por continuidade, em todo o intervalo entre as interseções) a reta
está acima da parábola
. Portanto a função superior é
e a inferior é
.
Passo 4
Fórmula para área entre duas curvas (explicação didática): se duas curvas
e
se intersectam em
e
e
para todo
, então a área da região limitada entre elas é
Aqui
,
,
,
. Portanto montamos a integral:
Passo 5
Agora vamos calcular a integral passo a passo. Primeiro escrevemos o integrando simplificado:
Precisamos de uma primitiva (antiderivada)
tal que
. Usamos as regras básicas de antiderivação:
- A antiderivada de uma constante
é . - A antiderivada de
é para . - A antiderivada de
é .
Aplicando essas regras:
Tomamos
como primitiva.
Passo 6
Aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo: a integral definida é
. Então
com
.
Calculemos
:
Calculemos
:
portanto
Agora a diferença:
Colocando em denominador comum
:
logo
Passo 7
Interpretação final e verificação rápida: o valor
é positivo (como deve ser uma área) e, em decimal, vale aproximadamente
. Tudo está coerente com a integral montada entre
e
com a reta acima da parábola nesse intervalo.