Determine a área da região limitada pelas curvas y = x^2 e y = 12 - x.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a área da região limitada pelas curvas y = x^2 e y = 12 - x.\n
Informações fornecidas:
\text{Curva 1: } y = x^2
\text{Curva 2: } y = 12 - x
A região limitada é o conjunto de pontos (x,y) que estão entre essas duas curvas e que formam uma região fechada (ou seja, as curvas se interceptam em dois pontos que definem o intervalo de integração). Neste passo apenas identifiquei o que o problema pede e quais são as curvas; não fiz cálculos ainda.

Passo 2

Vamos achar os pontos de interseção das curvas porque eles serão os limites do intervalo de integração. Para intersecar, igualamos as duas expressões de y:
x^2 = 12 - x.
Reescrevendo em forma padrão:
x^2 + x - 12 = 0.
Isto é uma equação quadrática. Vou resolver usando a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). Para uma equação \,ax^2+bx+c=0, as raízes são
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.
Aqui a=1, b=1, c=-12. Calculando o discriminante:
\Delta = b^2-4ac = 1^2 - 4\cdot1\cdot(-12) = 1 + 48 = 49.
Logo as raízes são
x=\frac{-1\pm\sqrt{49}}{2}=\frac{-1\pm7}{2}.
Portanto as interseções ocorrem em
x=\frac{-1+7}{2}=\frac{6}{2}=3
e
x=\frac{-1-7}{2}=\frac{-8}{2}=-4.

Passo 3

Agora precisamos saber qual curva está acima (maior y) no intervalo entre x=-4 e x=3, porque a área entre curvas é dada pela integral da função superior menos a função inferior.\n
Para verificar, escolhemos um ponto teste dentro do intervalo, por exemplo x=0. Calculamos:
y_{x^2}=0^2=0,\qquad y_{12-x}=12-0=12.
Como 12>0, no ponto teste (e, por continuidade, em todo o intervalo entre as interseções) a reta y=12-x está acima da parábola y=x^2. Portanto a função superior é y_{\text{sup}}=12-x e a inferior é y_{\text{inf}}=x^2.

Passo 4

Fórmula para área entre duas curvas (explicação didática): se duas curvas y=f(x) e y=g(x) se intersectam em x=a e x=b e f(x)\ge g(x) para todo x\in[a,b], então a área da região limitada entre elas é
\text{Área}=\int_{a}^{b}\bigl(f(x)-g(x)\bigr)\,dx.Á
Aqui f(x)=12-x, g(x)=x^2, a=-4, b=3. Portanto montamos a integral:
\text{Área}=\int_{-4}^{3}\bigl((12-x)-x^2\bigr)\,dx.Á

Passo 5

Agora vamos calcular a integral passo a passo. Primeiro escrevemos o integrando simplificado:
(12-x)-x^2 = 12 - x - x^2.
Precisamos de uma primitiva (antiderivada) F(x) tal que F'(x)=12-x-x^2. Usamos as regras básicas de antiderivação:
  • A antiderivada de uma constante C é Cx.
  • A antiderivada de x^n é \dfrac{x^{n+1}}{n+1} para n\neq -1.
  • A antiderivada de -x é -\dfrac{x^2}{2}.
    Aplicando essas regras:
\int (12 - x - x^2)\,dx = 12x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} + C.
Tomamos F(x)=12x - \dfrac{x^2}{2} - \dfrac{x^3}{3} como primitiva.

Passo 6

Aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo: a integral definida é F(b)-F(a). Então
\text{Área}=F(3)-F(-4),Á
com F(x)=12x - \dfrac{x^2}{2} - \dfrac{x^3}{3}.
Calculemos F(3):
F(3)=12\cdot3 - \frac{3^2}{2} - \frac{3^3}{3} =36 - \frac{9}{2} - \frac{27}{3}.
\frac{27}{3}=9,\quad\text{portanto }F(3)=36 - \frac{9}{2} - 9 = 27 - \frac{9}{2} = \frac{54-9}{2}=\frac{45}{2}.
Calculemos F(-4):
F(-4)=12\cdot(-4) - \frac{(-4)^2}{2} - \frac{(-4)^3}{3} = -48 - \frac{16}{2} - \frac{-64}{3}.
-\frac{16}{2}=-8,\quad -48-8=-56,\quad -\frac{-64}{3}=+\frac{64}{3},
portanto
F(-4) = -56 + \frac{64}{3} = -\frac{168}{3} + \frac{64}{3} = -\frac{104}{3}.
Agora a diferença:
\text{Área}=F(3)-F(-4)=\frac{45}{2} - \left(-\frac{104}{3}\right)=\frac{45}{2}+\frac{104}{3}.Á
Colocando em denominador comum 6:
\frac{45}{2}=\frac{135}{6},\qquad \frac{104}{3}=\frac{208}{6},
logo
\text{Área}=\frac{135}{6}+\frac{208}{6}=\frac{343}{6}.Á

Passo 7

Interpretação final e verificação rápida: o valor \dfrac{343}{6} é positivo (como deve ser uma área) e, em decimal, vale aproximadamente 57{,}166\ldots. Tudo está coerente com a integral montada entre x=-4 e x=3 com a reta acima da parábola nesse intervalo.

Resposta

\dfrac{343}{6}

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