Determine a área da região limitada pelas curvas y = x^3 e y = x no primeiro quadrante.

Passo 1

O enunciado pede: “Determinar a área da região limitada pelas curvas y=x^3 e y=x no primeiro quadrante.”
Informações dadas e o que precisamos achar:
  • As duas curvas são y=x^3 e y=x.
  • Devemos considerar apenas a região no primeiro quadrante, isto é x\ge 0 e y\ge 0.
  • Precisamos encontrar a área da região onde as duas curvas se encontram e limitam essa região no primeiro quadrante.

Passo 2

Encontrar os pontos de interseção das curvas, porque eles serão os extremos da integral que dá a área. Igualamos as funções:
x^3 = x.
Resolvendo:
x^3-x = 0 \quad\Rightarrow\quad x(x^2-1)=0.
As soluções são x=0, x=1 e x=-1. Como estamos no primeiro quadrante, os pontos relevantes têm x\ge 0, logo os pontos de interseção no primeiro quadrante são x=0 e x=1.

Passo 3

Determinar qual curva está “por cima” (maior y) entre x=0 e x=1, porque a área entre curvas é a integral da função superior menos a inferiror. Para 0<x<1 temos
x - x^3 = x(1-x^2).
Como x>0 e 1-x^2>0 para 0<x<1, segue que x-x^3>0, ou seja x>x^3. Portanto, no intervalo [0,1] a curva superior é y=x e a inferior é y=x^3.

Passo 4

Apresentar a fórmula do cálculo da área entre duas curvas em termos de x. Se f(x) é a curva superior e g(x) a inferior em [a,b], a área A entre elas é
A=\int_{a}^{b}\bigl(f(x)-g(x)\bigr)\,dx.
Aqui f(x)=x, g(x)=x^3 e [a,b]=[0,1]. Então a área pedida é
A=\int_{0}^{1}\bigl(x-x^3\bigr)\,dx.
Breve justificativa intuitiva: dividimos a região em tiras verticais de largura dx; cada tira tem altura aproximadamente f(x)-g(x), e somando (integrando) essas alturas vezes dx obtemos a área.

Passo 5

Calcular a integral passo a passo. Primeiro achamos uma primitiva de x-x^3:
\int \bigl(x-x^3\bigr)\,dx = \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{4} + C.
Agora avaliamos entre 0 e 1:
A=\left[\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{4}\right]_{0}^{1} = \left(\frac{1^2}{2}-\frac{1^4}{4}\right)-\left(\frac{0^2}{2}-\frac{0^4}{4}\right).
Isso dá
A=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}.

Resposta

\dfrac{1}{4}

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