Determine a área da região limitada pelas curvas
e
no primeiro quadrante.
Passo 1
O enunciado pede: “Determinar a área da região limitada pelas curvas
e
no primeiro quadrante.”
Informações dadas e o que precisamos achar:
Informações dadas e o que precisamos achar:
- As duas curvas são
e . - Devemos considerar apenas a região no primeiro quadrante, isto é
e . - Precisamos encontrar a área da região onde as duas curvas se encontram e limitam essa região no primeiro quadrante.
Passo 2
Encontrar os pontos de interseção das curvas, porque eles serão os extremos da integral que dá a área. Igualamos as funções:
Resolvendo:
As soluções são
,
e
. Como estamos no primeiro quadrante, os pontos relevantes têm
, logo os pontos de interseção no primeiro quadrante são
e
.
Passo 3
Determinar qual curva está “por cima” (maior
) entre
e
, porque a área entre curvas é a integral da função superior menos a inferiror. Para
temos
Como
e
para
, segue que
, ou seja
. Portanto, no intervalo
a curva superior é
e a inferior é
.
Passo 4
Apresentar a fórmula do cálculo da área entre duas curvas em termos de
. Se
é a curva superior e
a inferior em
, a área
entre elas é
Aqui
,
e
. Então a área pedida é
Breve justificativa intuitiva: dividimos a região em tiras verticais de largura
; cada tira tem altura aproximadamente
, e somando (integrando) essas alturas vezes
obtemos a área.
Passo 5
Calcular a integral passo a passo. Primeiro achamos uma primitiva de
:
Agora avaliamos entre
e
:
Isso dá