Determine a área de superfície da parte do plano
que está acima do retângulo
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar a área da parte do plano definido pela equação
que está acima de um retângulo no plano
com lados de
variando de 0 a 2 e
variando de 0 a 3. Para resolver isso, vamos usar cálculo de integrais duplas para calcular a área de superfícies no espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação do plano para facilitar a parametrização. Soltemos a variável
em função de
e
:
Isso nos permite expressar o plano como uma função
.
Passo 3
Agora, para calcular a área da superfície
sobre uma região
no plano
, usamos a fórmula da integral dupla:
Mas, como estamos lidando com uma superfície plana, a inclinação constante simplifica a nossa vida. Na verdade, para planos, a área pode ser calculada multiplicando a área do projeto no plano
pelo fator de inclinação.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
:
Substituindo na fórmula da área:
Como
é uma constante, podemos simplificar a integral:
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral dupla sobre a região
:
Portanto, a integral dupla é igual a 6.
Passo 6
Agora, multiplicamos o resultado da integral pela constante
:
Resposta
A área da superfície é
unidades de área.