Determine a área de superfície da parte do plano 3x + 2y + z = 6 que está acima do retângulo [0,2] x [0,3]

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar a área da parte do plano definido pela equação que está acima de um retângulo no plano com lados de variando de 0 a 2 e variando de 0 a 3. Para resolver isso, vamos usar cálculo de integrais duplas para calcular a área de superfícies no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação do plano para facilitar a parametrização. Soltemos a variável em função de e :
Isso nos permite expressar o plano como uma função .

Passo 3

Agora, para calcular a área da superfície sobre uma região no plano , usamos a fórmula da integral dupla:
Mas, como estamos lidando com uma superfície plana, a inclinação constante simplifica a nossa vida. Na verdade, para planos, a área pode ser calculada multiplicando a área do projeto no plano pelo fator de inclinação.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e :
Substituindo na fórmula da área:
Como é uma constante, podemos simplificar a integral:

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral dupla sobre a região :
Portanto, a integral dupla é igual a 6.

Passo 6

Agora, multiplicamos o resultado da integral pela constante :

Resposta

A área da superfície é unidades de área.

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