Determine a área da superfície da porção de x^{2}+y^{2}+z^{2}=25 \operatorname{com} z \leq 0.

Passo 1

O enunciado dá a superfície esférica
x^{2}+y^{2}+z^{2}=25
e pede a área da porção dessa superfície que satisfaz z\le 0.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A superfície é uma esfera de raio 5 centrada na origem (porque 25=5^{2}).
  • A porção pedida é a metade inferior da esfera (tudo com z\le 0).
  • O que se deve calcular: a área dessa superfície esférica restrita ao hemisfério inferior.

Passo 2

Estratégia: vou calcular a área usando uma parametrização da esfera em coordenadas esféricas e a fórmula de área de superfície parametrizada. Depois faço uma checagem rápida pelo argumento geométrico (metade da área da esfera inteira). Vou explicar cada fórmula usada.
Lembrete importante (fórmula que usarei):
  • Se \mathbf{r}(u,v) é uma parametrização da superfície, a área da superfície sobre a região D no plano (u,v) é
\iint_{D}\bigl\|\mathbf{r}_{u}\times\mathbf{r}_{v}\bigr\|\,du\,dv,
onde \mathbf{r}_{u} e \mathbf{r}_{v} são derivadas parciais de \mathbf{r} em relação a u e v, e \times é o produto vetorial. Isso vem do fato que \bigl\|\mathbf{r}_{u}\times\mathbf{r}_{v}\bigr\| é a área do paralelogramo gerado pelos vetores tangentes.

Passo 3

Parametrização da esfera de raio 5 usando coordenadas esféricas (ângulos):
  • \varphi é o ângulo polar medido a partir do eixo +z (ou seja, \varphi=0 aponta para o polo norte).
  • \theta é o ângulo azimutal no plano xy, variando de 0 a 2\pi.
A parametrização padrão é
\mathbf{r}(\varphi,\theta)=\bigl(5\sin\varphi\cos\theta,\;5\sin\varphi\sin\theta,\;5\cos\varphi\bigr).
Aqui cada componente é:
  • x=5\sin\varphi\cos\theta,
  • y=5\sin\varphi\sin\theta,
  • z=5\cos\varphi.
Intervalos dos parâmetros para a esfera inteira: \theta\in[0,2\pi], \varphi\in[0,\pi].
Como queremos a metade inferior ( z\le 0), precisamos das \varphi tais que 5\cos\varphi\le 0, ou seja \cos\varphi\le 0. Isso corresponde a
\varphi\in\left[\tfrac{\pi}{2},\pi\right].
Logo a região de integração será \theta\in[0,2\pi] e \varphi\in\bigl[\tfrac{\pi}{2},\pi\bigr].

Passo 4

Calcular as derivadas parciais \mathbf{r}_{\varphi} e \mathbf{r}_{\theta}:
\mathbf{r}_{\varphi}(\varphi,\theta)=\bigl(5\cos\varphi\cos\theta,\;5\cos\varphi\sin\theta,\;-5\sin\varphi\bigr),
\mathbf{r}_{\theta}(\varphi,\theta)=\bigl(-5\sin\varphi\sin\theta,\;5\sin\varphi\cos\theta,\;0\bigr).
Agora o produto vetorial \mathbf{r}_{\varphi}\times\mathbf{r}_{\theta}. Use a fórmula direta com componentes: se \mathbf{a}=(a_1,a_2,a_3) e \mathbf{b}=(b_1,b_2,b_3) então
\mathbf{a}\times\mathbf{b}=\bigl(a_2b_3-a_3b_2,\;a_3b_1-a_1b_3,\;a_1b_2-a_2b_1\bigr).
Aplicando com \mathbf{a}=\mathbf{r}_{\varphi} e \mathbf{b}=\mathbf{r}_{\theta}:
  • componente x:
a_2b_3-a_3b_2=(5\cos\varphi\sin\theta)\cdot 0 - (-5\sin\varphi)\cdot(5\sin\varphi\cos\theta)=25\sin^{2}\varphi\cos\theta.
  • componente y:
a_3b_1-a_1b_3 = (-5\sin\varphi)\cdot(-5\sin\varphi\sin\theta) - (5\cos\varphi\cos\theta)\cdot 0 = 25\sin^{2}\varphi\sin\theta.
  • componente z:
a_1b_2-a_2b_1 = (5\cos\varphi\cos\theta)(5\sin\varphi\cos\theta) - (5\cos\varphi\sin\theta)(-5\sin\varphi\sin\theta)
=25\cos\varphi\sin\varphi\bigl(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta\bigr)=25\cos\varphi\sin\varphi.
Portanto
\mathbf{r}_{\varphi}\times\mathbf{r}_{\theta}=\bigl(25\sin^{2}\varphi\cos\theta,\;25\sin^{2}\varphi\sin\theta,\;25\cos\varphi\sin\varphi\bigr).
A norma desse vetor é
\bigl\|\mathbf{r}_{\varphi}\times\mathbf{r}_{\theta}\bigr\| =25\sin\varphi\sqrt{\sin^{2}\varphi(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta)+\cos^{2}\varphi} =25\sin\varphi\sqrt{\sin^{2}\varphi+\cos^{2}\varphi}=25\sin\varphi.
Explicação curta: a simplificação usa \cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta=1 e \sin^{2}\varphi+\cos^{2}\varphi=1.

Passo 5

Agora montamos a integral da área usando a fórmula da Passo 2:
\text{Área}=\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{\varphi=\pi/2}^{\pi}\bigl\|\mathbf{r}_{\varphi}\times\mathbf{r}_{\theta}\bigr\|\,d\varphi\,d\theta =\int_{0}^{2\pi}\int_{\pi/2}^{\pi}25\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta.Á
Calcule a integral interna em \varphi:
\int_{\pi/2}^{\pi}\sin\varphi\,d\varphi=[-\cos\varphi]_{\pi/2}^{\pi} = -\cos\pi -\bigl(-\cos(\tfrac{\pi}{2})\bigr)= -(-1)-(-0)=1.
Então a integral total fica
\text{Área}=25\cdot\int_{0}^{2\pi}1\,d\theta =25\cdot(2\pi)=50\pi.Á

Passo 6

Interpretação e checagem rápida: a área de uma esfera de raio r é \,4\pi r^{2}\,. Para r=5 isso dá
4\pi\cdot 5^{2}=100\pi.
A porção com z\le 0 é exatamente metade da esfera, então sua área é metade de 100\pi, isto é 50\pi. Isso confirma o resultado obtido pela integral.

Resposta

50\pi

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