Escreva equações paramétricas (parametrização) para a região do plano
que está no primeiro octante.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá:
- Pede: escrever equações paramétricas (uma parametrização) para a região do plano
que está no primeiro octante. - Dados relevantes:
- A equação do plano é
. - “Primeiro octante” significa
, , .
- A equação do plano é
- Objetivo concreto: achar uma função de dois parâmetros (porque a região é bidimensional) que gera exatamente todos os pontos do plano com
e que esteja limitada pelas interseções do plano com os eixos coordenados.
Passo 2
Encontrar os pontos onde o plano corta os eixos (esses serão os vértices da região triangular no primeiro octante).
-
Interseção com o eixo
: ponha e em . Então Logo o ponto é. -
Interseção com o eixo
: ponha e . Então Ponto. -
Interseção com o eixo
: ponha e . Então Ponto.
Conclusão: a região pedida é o triângulo convexo com vértices
.
Passo 3
Estratégia para parametrizar um triângulo em um plano:
- Uma forma simples e muito usada é escrever qualquer ponto do triângulo como combinação afim (convexa) dos vértices. Se
e , então gera exatamente o triângulo com vértices . - Isso dá uma parametrização linear e os limites dos parâmetros são fáceis de entender:
e variam no triângulo do plano dos parâmetros.
Passo 4
Aplicando a fórmula com os vértices
que achamos:
- Substituindo
, , em obtemos, coordenada a coordenada,
- Domínio dos parâmetros:
, , . Esse triângulo no plano produz exatamente a região triangular no primeiro octante do plano original. - Verificação rápida: para um ponto gerado qualquer,
então os pontos realmente satisfazem a equação do plano.
Passo 5
Outra parametrização (mais direta) — usar
e
como parâmetros livres:
- A partir de
isolamos : - Tomando parâmetros
identificados com e , uma parametrização é com domínio - Esse domínio em
é exatamente o triângulo no plano cujos vértices são , e , correspondendo aos mesmos vértices , , no espaço.
Passo 6
Resumo e observações finais (motivação prática):
- A primeira parametrização (com
) é particularmente conveniente quando se quer integrar sobre a região triangular porque os limites são simples: de a e, para cada , de a . - A segunda (com
) é intuitiva quando se quer tratar e como parâmetros diretos; os limites ficam dados pela inequação . - Ambas descrevem a mesma região; escolha a que for mais conveniente para a aplicação (por exemplo, integração dupla, cálculo de área, etc.).
Resposta
Uma parametrização conveniente (com
) é
com
.
Outra parametrização equivalente (usando
) é
com
.