Escreva equações paramétricas (parametrização) para a região do plano 7 x+3 y+4 z=15 que está no primeiro octante.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá:
  • Pede: escrever equações paramétricas (uma parametrização) para a região do plano 7x+3y+4z=15 que está no primeiro octante.
  • Dados relevantes:
    • A equação do plano é 7x+3y+4z=15.
    • “Primeiro octante” significa x\ge 0, y\ge 0, z\ge 0.
  • Objetivo concreto: achar uma função de dois parâmetros (porque a região é bidimensional) que gera exatamente todos os pontos do plano com x,y,z\ge0 e que esteja limitada pelas interseções do plano com os eixos coordenados.

Passo 2

Encontrar os pontos onde o plano corta os eixos (esses serão os vértices da região triangular no primeiro octante).
  • Interseção com o eixo x: ponha y=0 e z=0 em 7x+3y+4z=15. Então
    7x=15 \quad\Rightarrow\quad x=\tfrac{15}{7}.
    Logo o ponto é A=\left(\tfrac{15}{7},0,0\right).
  • Interseção com o eixo y: ponha x=0 e z=0. Então
    3y=15 \quad\Rightarrow\quad y=5.
    Ponto B=(0,5,0).
  • Interseção com o eixo z: ponha x=0 e y=0. Então
    4z=15 \quad\Rightarrow\quad z=\tfrac{15}{4}.
    Ponto C=\left(0,0,\tfrac{15}{4}\right).
Conclusão: a região pedida é o triângulo convexo com vértices A,B,C.

Passo 3

Estratégia para parametrizar um triângulo em um plano:
  • Uma forma simples e muito usada é escrever qualquer ponto do triângulo como combinação afim (convexa) dos vértices. Se s,t\ge0 e s+t\le1, então P(s,t)=sA+tB+(1-s-t)Cgera exatamente o triângulo com vértices A,B,C.
  • Isso dá uma parametrização linear e os limites dos parâmetros são fáceis de entender: s e t variam no triângulo do plano dos parâmetros.

Passo 4

Aplicando a fórmula com os vértices A,B,C que achamos:
  • Substituindo A=\left(\tfrac{15}{7},0,0\right), B=(0,5,0), C=\left(0,0,\tfrac{15}{4}\right) em P(s,t)=sA+tB+(1-s-t)Cobtemos, coordenada a coordenada, x(s,t)=s\cdot\tfrac{15}{7}+t\cdot 0+(1-s-t)\cdot 0=\tfrac{15}{7}s,
y(s,t)=s\cdot 0+t\cdot 5+(1-s-t)\cdot 0=5t,
z(s,t)=s\cdot 0+t\cdot 0+(1-s-t)\cdot\tfrac{15}{4}=\tfrac{15}{4}(1-s-t).
  • Domínio dos parâmetros: s\ge0, t\ge0, s+t\le1. Esse triângulo no plano (s,t) produz exatamente a região triangular no primeiro octante do plano original.
  • Verificação rápida: para um ponto gerado qualquer, 7x+3y+4z=7\cdot\tfrac{15}{7}s+3\cdot 5t+4\cdot\tfrac{15}{4}(1-s-t)=15s+15t+15(1-s-t)=15,então os pontos realmente satisfazem a equação do plano.

Passo 5

Outra parametrização (mais direta) — usar x e y como parâmetros livres:
  • A partir de 7x+3y+4z=15 isolamos z: z=\tfrac{15-7x-3y}{4}.
  • Tomando parâmetros u,v identificados com x e y, uma parametrização é \bigl(x(u,v),y(u,v),z(u,v)\bigr)=\left(u,\;v,\;\tfrac{15-7u-3v}{4}\right),com domínio u\ge0,\quad v\ge0,\quad 7u+3v\le15.
  • Esse domínio em (u,v) é exatamente o triângulo no plano uv cujos vértices são (0,0), (\tfrac{15}{7},0) e (0,5), correspondendo aos mesmos vértices C, A, B no espaço.

Passo 6

Resumo e observações finais (motivação prática):
  • A primeira parametrização (com s,t) é particularmente conveniente quando se quer integrar sobre a região triangular porque os limites são simples: s de 0 a 1 e, para cada s, t de 0 a 1-s.
  • A segunda (com u,v) é intuitiva quando se quer tratar x e y como parâmetros diretos; os limites ficam dados pela inequação 7u+3v\le15.
  • Ambas descrevem a mesma região; escolha a que for mais conveniente para a aplicação (por exemplo, integração dupla, cálculo de área, etc.).

Resposta

Uma parametrização conveniente (com s,t) é
x(s,t)=\tfrac{15}{7}s,\qquad y(s,t)=5t,\qquad z(s,t)=\tfrac{15}{4}(1-s-t),
com s\ge0,\\ t\ge0,\\ s+t\le1.
Outra parametrização equivalente (usando u=x,\\ v=y) é
x(u,v)=u,\qquad y(u,v)=v,\qquad z(u,v)=\tfrac{15-7u-3v}{4},
com u\ge0,\\ v\ge0,\\\ 7u+3v\le15.

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