Determine a área da superfície.
(a) Use a Regra do Ponto Médio para integrais duplas (veja a Seção 15.1) com seis quadrados para estimar a área da superfície z=1 /\left(1+x^{2}+y^{2}\right), 0 \leqslant x \leqslant 6,0 \leqslant y \leqslant 4.
(b) Use um sistema de computação algébrica para aproximar área de superfície da parte (a) até a quarta casa decimal. Compare com sua resposta para a parte (a).

Passo 1

O enunciado pede a área da superfície dada por
z = \frac{1}{1 + x^2 + y^2},
no retângulo 0 \le x \le 6,\;0 \le y \le 4.
Para isso usamos a fórmula da área de superfície de z=f(x,y):
S = \iint_R \sqrt{1 + f_x^2 + f_y^2}\,dA.
Na parte (a) vamos aproximar essa integral dupla pela Regra do Ponto Médio com 6 sub-retângulos; na (b) vamos obter um valor mais exato com um CAS e comparar.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais de \displaystyle f(x,y)=\frac{1}{1+x^2+y^2}.
f_x = -\frac{2x}{(1+x^2+y^2)^2}, \qquad f_y = -\frac{2y}{(1+x^2+y^2)^2}.
Logo,
f_x^2 + f_y^2 = \frac{4x^2}{(1+x^2+y^2)^4} + \frac{4y^2}{(1+x^2+y^2)^4} = \frac{4(x^2+y^2)}{(1+x^2+y^2)^4},
e o integrando vira
\sqrt{1 + f_x^2 + f_y^2} = \sqrt{1 + \frac{4(x^2+y^2)}{(1+x^2+y^2)^4}}.

Passo 3

Particionamos R=[0,6]\times[0,4] em 3 subintervalos em x de comprimento \Delta x=2 e 2 em y de comprimento \Delta y=2.
Cada sub-retângulo tem área \Delta A = \Delta x\,\Delta y = 4.
Os pontos médios são
(x_i^*,y_j^*)\in\{1,3,5\}\times\{1,3\}.

Passo 4

Aplicando a Regra do Ponto Médio:
S\approx \sum_{i=1}^{3}\sum_{j=1}^{2} \sqrt{1 + \frac{4\bigl((x_i^*)^2+(y_j^*)^2\bigr)} {(1+(x_i^*)^2+(y_j^*)^2)^4}}\;\Delta A.
Calculamos numericamente em cada ponto:
\begin{aligned} &(1,1):\;\sqrt{1+\tfrac{4\cdot2}{3^4}}=1,0487,\quad (3,1):1,001365,\quad (5,1):1,000098,\\\ &(1,3):1,001365,\quad (3,3):1,000276,\quad (5,3):1,000045. \end{aligned}
Somando e multiplicando por \Delta A=4,
S\approx 4\bigl(1,0487+1,001365+1,000098+1,001365+1,000276+1,000045\bigr) \approx 24,21.

Passo 5

Na parte (b) usamos um sistema de álgebra computacional (Mathematica, Maple, etc.) para avaliar com mais precisão
S = \int_{0}^{6}\!\int_{0}^{4} \sqrt{1 + \frac{4(x^2+y^2)}{(1+x^2+y^2)^4}} \;dy\,dx.
O CAS retorna, por exemplo,
S \approx 24,2073\quad(\text{até a 4ª casa decimal}).éª

Resposta

(a) Pela Regra do Ponto Médio com 6 quadrados obtivemos
S \approx 24,21.
(b) O cálculo exato em CAS dá
S \approx 24,2073.
A estimativa de (a) difere em apenas 0,0027, mostrando que a regra do ponto médio já é bastante precisa.

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