Determine a área da superfície.
(a) Use a Regra do Ponto Médio para integrais duplas (veja a Seção 15.1) com seis quadrados para estimar a área da superfície z=1 /\left(1+x^{2}+y^{2}\right), 0 \leqslant x \leqslant 6,0 \leqslant y \leqslant 4.
(b) Use um sistema de computação algébrica para aproximar área de superfície da parte (a) até a quarta casa decimal. Compare com sua resposta para a parte (a).
Passo 1
O enunciado pede a área da superfície dada por
z = \frac{1}{1 + x^2 + y^2},
no retângulo 0 \le x \le 6,\;0 \le y \le 4.
Para isso usamos a fórmula da área de superfície de z=f(x,y):
S = \iint_R \sqrt{1 + f_x^2 + f_y^2}\,dA.
Na parte (a) vamos aproximar essa integral dupla pela Regra do Ponto Médio com 6 sub-retângulos; na (b) vamos obter um valor mais exato com um CAS e comparar.
Passo 2
Calculemos as derivadas parciais de \displaystyle f(x,y)=\frac{1}{1+x^2+y^2}.
Particionamos R=[0,6]\times[0,4] em 3 subintervalos em x de comprimento \Delta x=2 e 2 em y de comprimento \Delta y=2.
Cada sub-retângulo tem área \Delta A = \Delta x\,\Delta y = 4.
Os pontos médios são
(x_i^*,y_j^*)\in\{1,3,5\}\times\{1,3\}.
Passo 4
Aplicando a Regra do Ponto Médio:
S\approx \sum_{i=1}^{3}\sum_{j=1}^{2} \sqrt{1 + \frac{4\bigl((x_i^*)^2+(y_j^*)^2\bigr)} {(1+(x_i^*)^2+(y_j^*)^2)^4}}\;\Delta A.