Determine as assíntotas de
.
Passo 1
O enunciado dá a função racional
e pede para determinar as assíntotas. Vou listar claramente o que é pedido:
- Encontrar possíveis assíntotas verticais (valores de
onde a função tende a ). - Encontrar possíveis assíntotas horizontais (valores de
que a função aproxima quando ). - Verificar se existe assíntota oblíqua (reta
).
Informações explícitas dadas:
- Numerador:
. - Denominador:
.
Passo 2
O que é uma assíntota vertical (intuição e critério prático).
- Intuição: uma assíntota vertical ocorre quando, ao aproximar
de um certo valor , o valor de explode para ou . - Critério prático para funções racionais simples: se o denominador zera em
e o numerador não zera em , normalmente há uma assíntota vertical em .
Aplicando ao nosso caso:
- O denominador zera em
porque . - O numerador em
vale , que é diferente de zero.
Portantoé um candidato a assíntota vertical (aqui o numerador não se anula, então esperamos comportamento infinito).
Passo 3
Confirmando a assíntota vertical com limites laterais (passo a passo e por que funciona).
- Calcula-se os limites laterais para ver se realmente
tende a quando se aproxima de .
Primeiro limite à direita:
Quando
o numerador
(positivo) e o denominador
é um número positivo muito pequeno, logo a fração tende para
. Assim
Agora limite à esquerda:
Quando
o numerador
(positivo) e o denominador
é negativo e muito pequeno, então a fração tende para
. Assim
Esses dois resultados mostram o comportamento vertical característico em
.
Passo 4
O que é uma assíntota horizontal e regra prática para funções racionais.
- Intuição: uma assíntota horizontal é uma reta
tal que ou . - Regra prática para racionais
(polinômios): - Se
então é assíntota horizontal. - Se
então há assíntota horizontal razão dos coeficientes líderes. - Se
pode haver assíntota oblíqua (reta); aí faz-se divisão polinomial para encontrar . - Se
não há assíntota linear.
- Se
No nosso caso
e
, ou seja, os graus são iguais.
Passo 5
Aplicando a regra: graus iguais → assíntota horizontal em
razão dos coeficientes líderes.
- Coeficiente líder do numerador (de
) é . - Coeficiente líder do denominador (de
) é .
Logo a razão é, então a candidata é .
Vou também mostrar algebricamente por que
, um truque útil para a prova: decompor a função.
Agora observe que
porque
tende a zero quando
cresce. Portanto
Isto confirma que
é assíntota horizontal.
Passo 6
E sobre assíntota oblíqua?
- Regra prática: só pode ocorrer se
do numerador for exatamente uma unidade maior que a do denominador. Aqui os graus são iguais, então não há nenhuma assíntota oblíqua. - Para lembrar: se fosse o caso oblíquo, faria-se divisão polinomial para escrever
e tomar o limite do resto para zero; aí seria a assíntota.
Passo 7
Resumo do raciocínio (sem repetir sucintamente as respostas que coloquei na seção final):
- Há um ponto onde o denominador zera e o numerador não (com limites laterais divergentes), portanto existe comportamento de explosão vertical em
. - Para grandes valores de
a função se aproxima de , porque e o termo some ao infinito. - Não há assíntota oblíqua porque o grau do numerador não é maior do que o do denominador por exatamente 1.
Resposta
Assíntota vertical:
Assíntota horizontal:
Assíntota oblíqua: nenhuma