Determine as assíntotas de f(x)=\frac{x+1}{x-2}.

Passo 1

O enunciado dá a função racional f(x)=\dfrac{x+1}{x-2} e pede para determinar as assíntotas. Vou listar claramente o que é pedido:
  • Encontrar possíveis assíntotas verticais (valores de x onde a função tende a \pm\infty).
  • Encontrar possíveis assíntotas horizontais (valores de y que a função aproxima quando x\to\pm\infty).
  • Verificar se existe assíntota oblíqua (reta y=mx+b).
Informações explícitas dadas:
  • Numerador: x+1.
  • Denominador: x-2.

Passo 2

O que é uma assíntota vertical (intuição e critério prático).
  • Intuição: uma assíntota vertical ocorre quando, ao aproximar x de um certo valor a, o valor de f(x) explode para +\infty ou -\infty.
  • Critério prático para funções racionais simples: se o denominador zera em x=a e o numerador não zera em x=a, normalmente há uma assíntota vertical em x=a.
Aplicando ao nosso caso:
  • O denominador zera em x=2 porque 2-2=0.
  • O numerador em x=2 vale 2+1=3, que é diferente de zero.
    Portanto x=2 é um candidato a assíntota vertical (aqui o numerador não se anula, então esperamos comportamento infinito).

Passo 3

Confirmando a assíntota vertical com limites laterais (passo a passo e por que funciona).
  • Calcula-se os limites laterais para ver se realmente f(x) tende a \pm\infty quando x se aproxima de 2.
Primeiro limite à direita:
\lim_{x\to2^+} \frac{x+1}{x-2}.
Quando x\to2^+ o numerador (x+1)\to 3 (positivo) e o denominador (x-2) é um número positivo muito pequeno, logo a fração tende para +\infty. Assim
\lim_{x\to2^+} \frac{x+1}{x-2}=+\infty.
Agora limite à esquerda:
\lim_{x\to2^-} \frac{x+1}{x-2}.
Quando x\to2^- o numerador (x+1)\to 3 (positivo) e o denominador (x-2) é negativo e muito pequeno, então a fração tende para -\infty. Assim
\lim_{x\to2^-} \frac{x+1}{x-2}=-\infty.
Esses dois resultados mostram o comportamento vertical característico em x=2.

Passo 4

O que é uma assíntota horizontal e regra prática para funções racionais.
  • Intuição: uma assíntota horizontal é uma reta y=L tal que \lim_{x\to\infty} f(x)=L ou \lim_{x\to -\infty} f(x)=L.
  • Regra prática para racionais \dfrac{P(x)}{Q(x)} (polinômios):
    • Se \deg P<\deg Q então y=0 é assíntota horizontal.
    • Se \deg P=\deg Q então há assíntota horizontal y= razão dos coeficientes líderes.
    • Se \deg P=\deg Q+1 pode haver assíntota oblíqua (reta); aí faz-se divisão polinomial para encontrar y=mx+b.
    • Se \deg P>\deg Q+1 não há assíntota linear.
No nosso caso \deg(x+1)=1 e \deg(x-2)=1, ou seja, os graus são iguais.

Passo 5

Aplicando a regra: graus iguais → assíntota horizontal em y= razão dos coeficientes líderes.
  • Coeficiente líder do numerador (de x) é 1.
  • Coeficiente líder do denominador (de x) é 1.
    Logo a razão é 1/1=1, então a candidata é y=1.
Vou também mostrar algebricamente por que \lim_{x\to\pm\infty} f(x)=1, um truque útil para a prova: decompor a função.
\frac{x+1}{x-2}=\frac{x-2+3}{x-2}=1+\frac{3}{x-2}.
Agora observe que
\lim_{x\to\infty}\frac{3}{x-2}=0 \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to -\infty}\frac{3}{x-2}=0,
porque 3/(x-2) tende a zero quando |x| cresce. Portanto
\lim_{x\to\pm\infty}\frac{x+1}{x-2}=1+0=1.
Isto confirma que y=1 é assíntota horizontal.

Passo 6

E sobre assíntota oblíqua?
  • Regra prática: só pode ocorrer se \deg do numerador for exatamente uma unidade maior que a do denominador. Aqui os graus são iguais, então não há nenhuma assíntota oblíqua.
  • Para lembrar: se fosse o caso oblíquo, faria-se divisão polinomial para escrever f(x)=mx+b+\dfrac{\text{resto}}{x-2} e tomar o limite do resto para zero; aí y=mx+b seria a assíntota.

Passo 7

Resumo do raciocínio (sem repetir sucintamente as respostas que coloquei na seção final):
  • Há um ponto onde o denominador zera e o numerador não (com limites laterais divergentes), portanto existe comportamento de explosão vertical em x=2.
  • Para grandes valores de |x| a função se aproxima de 1, porque f(x)=1+\dfrac{3}{x-2} e o termo \dfrac{3}{x-2} some ao infinito.
  • Não há assíntota oblíqua porque o grau do numerador não é maior do que o do denominador por exatamente 1.

Resposta

Assíntota vertical: x=2
Assíntota horizontal: y=1
Assíntota oblíqua: nenhuma

Exercícios relacionados