g(x)=\left\{ \begin{array}{l} x+1, \text { se } x \leq 1 \\\\ 3, \text { se } x>1 \end{array} \right.
Passo 1
O enunciado dá a função g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) definida por
\[g(x)=\begin{cases} x+1, & \text{se } x\le 1,\\[4pt] 3, & \text{se } x>1. \end{cases}
Como o enunciado não faz perguntas explícitas, vou responder as questões padrão e úteis numa prova para esse tipo de função, a saber:
(A) calcular os limites laterais em x=1\] e comparar com o valor \(g(1);
(B) decidir se g é contínua em x=1 e em outros pontos de \mathbb{R};
(C) estudar diferenciabilidade: achar g'(x) para x<1 e x>1 e verificar se existe g'(1);
(D) determinar a imagem (conjunto dos valores que g assume).
Essas serão as perguntas que vamos responder passo a passo.]
Passo 2
Vamos calcular os limites laterais em x=1 e o valor da função em 1.
Definição rápida e prática (lembrando): o limite lateral à esquerda \lim_{x\to 1^-}g(x) é o valor que g(x) se aproxima quando x tende a 1 por valores menores que 1. O limite lateral à direita \lim_{x\to 1^+}g(x) é o valor quando x tende a 1 por valores maiores que 1.
Para x\to 1^- usamos a expressão válida quando x\le 1, que é g(x)=x+1. Então
Para x\to 1^+ usamos a expressão válida quando x>1, que é g(x)=3 (constante). Então
\lim_{x\to 1^+} g(x) = \lim_{x\to 1^+} 3 = 3.
O valor da função em 1 é dado pela regra x\le 1, logo
g(1)=1+1=2.
Resumo numérico: \lim_{x\to 1^-} g(x)=2, \lim_{x\to 1^+} g(x)=3 e g(1)=2.
Passo 3
Testando continuidade em x=1.
Definição prática de continuidade num ponto a: g é contínua em a se e somente se \lim_{x\to a} g(x) existe (os limites laterais coincidem) e é igual a g(a).
Aqui, para a=1 já vimos que os limites laterais são diferentes: 2 pela esquerda e 3 pela direita. Como \lim_{x\to 1^-} g(x)\neq \lim_{x\to 1^+} g(x), o limite \lim_{x\to 1} g(x) não existe. Consequentemente:
g não é contínua em x=1.
O tipo de descontinuidade é uma descontinuidade do tipo salto (jump): a função salta do valor 2 para o valor 3 ao passar por x=1.
Agora, continuidade para outros pontos:
Se a<1, num ponto qualquer a estritamente menor que 1, a definição usada é g(x)=x+1 numa vizinhança de a. A função x+1 é uma reta (polinômio de grau 1), e retas são contínuas em todo ponto. Logo g é contínua para todo x<1.
Se a>1, numa vizinhança de a usa-se g(x)=3, constante. Funções constantes são contínuas em todo ponto. Logo g é contínua para todo x>1.
Conclusão: g é contínua em todos os pontos x\neq 1 e é descontínua em x=1 (salto).
Passo 4
Derivadas para x\neq 1: como calcular de forma prática.
Relembrando: se uma função é dada por uma expressão elementar numa vizinhança de um ponto, costuma-se derivar usando regras usuais (derivada de soma, derivada de constante, etc.). Não é preciso aplicar a definição limite em cada ponto quando se trata de expressões simples; entretanto, para verificar derivabilidade no ponto 1 (onde a definição muda), é preciso usar a definição do limite da diferença quociente.
Para x<1 a expressão é g(x)=x+1. A derivada de x+1 é
Mas \dfrac{1}{h} tende para +\infty quando h\to 0^+. Não existe limite finito; portanto a derivada lateral à direita NÃO existe como número real (é divergente para +\infty).
Como as duas derivadas laterais não coincidem (a da esquerda é 1, a da direita diverge), o limite total \lim_{h\to 0} não existe como número real. Conclusão: g não é derivável em x=1.
Observação intuitiva: a função tem um salto no valor em 1 (de 2 para 3), e isso impede que a diferença quociente tenda a um número finito vindo pela direita (o numerador tem um salto fixo 1 enquanto o denominador tende a 0^+, gerando explosão).
Passo 6
Resumo dos comportamentos locais e expressão da derivada onde existe.
Para x<1: g(x)=x+1 é diferenciável e g'(x)=1.
Para x>1: g(x)=3 é diferenciável e g'(x)=0.
Em x=1: g não é contínua e, portanto, não é derivável; mais especificamente, a derivada à esquerda existe e vale 1, a derivada à direita diverge para +\infty.
Passo 7
Determinar a imagem (conjunto de valores assumidos por g).
Para x\le 1, g(x)=x+1. Quando x varia até 1 por valores arbitrariamente negativos, x+1 varia por todos os números menores ou iguais a 2. Formalmente, \{x+1 : x\le 1\}=(-\infty,2].
(Verificação rápida: se y\le 2 escolhe-se x=y-1\le 1, então g(x)=y.)
Para x>1, g(x)=3. Isso acrescenta o valor 3 à imagem.
União das duas partes:
\operatorname{Im}(g)=(-\infty,2]\cup\{3\}.
Passo 8
Breves observações finais e incentivo: temos uma função simples mas que exemplifica bem descontinuidade por salto e como isso afeta derivabilidade — lembra sempre: sem continuidade no ponto não adianta esperar derivada finita ali. Você já fez a parte mais difícil; confere só os resultados na seção final.
Resposta
\displaystyle \lim_{x\to 1^-}g(x)=2 \displaystyle \lim_{x\to 1^+}g(x)=3 \displaystyle g(1)=2 g é descontínua em x=1 (salto) e contínua em todo x\neq 1 g'(x)=1 para x<1; g'(x)=0 para x>1; g não é derivável em x=1 \operatorname{Im}(g)=(-\infty,2]\cup\{3\}