Considere g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} definida por:
g(x)=\left\{ \begin{array}{l} x+1, \text { se } x \leq 1 \\\\ 3, \text { se } x>1 \end{array} \right.

Passo 1

O enunciado dá a função g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) definida por \[g(x)=\begin{cases} x+1, & \text{se } x\le 1,\\[4pt] 3, & \text{se } x>1. \end{cases}
Como o enunciado não faz perguntas explícitas, vou responder as questões padrão e úteis numa prova para esse tipo de função, a saber:
  • (A) calcular os limites laterais em x=1\] e comparar com o valor \(g(1);
  • (B) decidir se g é contínua em x=1 e em outros pontos de \mathbb{R};
  • (C) estudar diferenciabilidade: achar g'(x) para x<1 e x>1 e verificar se existe g'(1);
  • (D) determinar a imagem (conjunto dos valores que g assume).
    Essas serão as perguntas que vamos responder passo a passo.]

Passo 2

Vamos calcular os limites laterais em x=1 e o valor da função em 1.
Definição rápida e prática (lembrando): o limite lateral à esquerda \lim_{x\to 1^-}g(x) é o valor que g(x) se aproxima quando x tende a 1 por valores menores que 1. O limite lateral à direita \lim_{x\to 1^+}g(x) é o valor quando x tende a 1 por valores maiores que 1.
  • Para x\to 1^- usamos a expressão válida quando x\le 1, que é g(x)=x+1. Então
\lim_{x\to 1^-} g(x) = \lim_{x\to 1^-} (x+1) = 1+1 = 2.
  • Para x\to 1^+ usamos a expressão válida quando x>1, que é g(x)=3 (constante). Então
\lim_{x\to 1^+} g(x) = \lim_{x\to 1^+} 3 = 3.
  • O valor da função em 1 é dado pela regra x\le 1, logo
g(1)=1+1=2.
Resumo numérico: \lim_{x\to 1^-} g(x)=2, \lim_{x\to 1^+} g(x)=3 e g(1)=2.

Passo 3

Testando continuidade em x=1.
Definição prática de continuidade num ponto a: g é contínua em a se e somente se \lim_{x\to a} g(x) existe (os limites laterais coincidem) e é igual a g(a).
Aqui, para a=1 já vimos que os limites laterais são diferentes: 2 pela esquerda e 3 pela direita. Como \lim_{x\to 1^-} g(x)\neq \lim_{x\to 1^+} g(x), o limite \lim_{x\to 1} g(x) não existe. Consequentemente:
  • g não é contínua em x=1.
  • O tipo de descontinuidade é uma descontinuidade do tipo salto (jump): a função salta do valor 2 para o valor 3 ao passar por x=1.
Agora, continuidade para outros pontos:
  • Se a<1, num ponto qualquer a estritamente menor que 1, a definição usada é g(x)=x+1 numa vizinhança de a. A função x+1 é uma reta (polinômio de grau 1), e retas são contínuas em todo ponto. Logo g é contínua para todo x<1.
  • Se a>1, numa vizinhança de a usa-se g(x)=3, constante. Funções constantes são contínuas em todo ponto. Logo g é contínua para todo x>1.
Conclusão: g é contínua em todos os pontos x\neq 1 e é descontínua em x=1 (salto).

Passo 4

Derivadas para x\neq 1: como calcular de forma prática.
Relembrando: se uma função é dada por uma expressão elementar numa vizinhança de um ponto, costuma-se derivar usando regras usuais (derivada de soma, derivada de constante, etc.). Não é preciso aplicar a definição limite em cada ponto quando se trata de expressões simples; entretanto, para verificar derivabilidade no ponto 1 (onde a definição muda), é preciso usar a definição do limite da diferença quociente.
  • Para x<1 a expressão é g(x)=x+1. A derivada de x+1 é
g'(x)=\frac{d}{dx}(x+1)=1,\qquad \text{para } x<1.
Explicando: a derivada de x é 1 e da constante 1 é 0, então soma dá 1.
  • Para x>1 a expressão é g(x)=3 (constante). A derivada de uma constante é 0, logo
g'(x)=0,\qquad \text{para } x>1.
Portanto, em todos os pontos diferentes de 1 a derivada existe e é igual a 1 à esquerda e 0 à direita.

Passo 5

Derivabilidade em x=1 (usando a definição limite).
Definição prática: g é derivável em 1 se existir o limite
g'(1)=\lim_{h\to 0}\frac{g(1+h)-g(1)}{h}.
Esse limite deve existir (mesmo valor vindo de h\to0^- e h\to0^+) e ser finito.
Vamos calcular as derivadas laterais.
  • Derivada lateral à esquerda (usar h\to 0^-, então 1+h\le 1 e vale g(1+h)=1+h+1=2+h):
\lim_{h\to 0^-}\frac{g(1+h)-g(1)}{h} = \lim_{h\to 0^-}\frac{(2+h)-2}{h} = \lim_{h\to 0^-}\frac{h}{h} = \lim_{h\to 0^-} 1 = 1.
Logo a derivada à esquerda em 1 é 1.
  • Derivada lateral à direita (usar h\to 0^+, então 1+h>1 e g(1+h)=3):
\lim_{h\to 0^+}\frac{g(1+h)-g(1)}{h} = \lim_{h\to 0^+}\frac{3-2}{h} = \lim_{h\to 0^+}\frac{1}{h}.
Mas \dfrac{1}{h} tende para +\infty quando h\to 0^+. Não existe limite finito; portanto a derivada lateral à direita NÃO existe como número real (é divergente para +\infty).
Como as duas derivadas laterais não coincidem (a da esquerda é 1, a da direita diverge), o limite total \lim_{h\to 0} não existe como número real. Conclusão: g não é derivável em x=1.
Observação intuitiva: a função tem um salto no valor em 1 (de 2 para 3), e isso impede que a diferença quociente tenda a um número finito vindo pela direita (o numerador tem um salto fixo 1 enquanto o denominador tende a 0^+, gerando explosão).

Passo 6

Resumo dos comportamentos locais e expressão da derivada onde existe.
  • Para x<1: g(x)=x+1 é diferenciável e g'(x)=1.
  • Para x>1: g(x)=3 é diferenciável e g'(x)=0.
  • Em x=1: g não é contínua e, portanto, não é derivável; mais especificamente, a derivada à esquerda existe e vale 1, a derivada à direita diverge para +\infty.

Passo 7

Determinar a imagem (conjunto de valores assumidos por g).
  • Para x\le 1, g(x)=x+1. Quando x varia até 1 por valores arbitrariamente negativos, x+1 varia por todos os números menores ou iguais a 2. Formalmente, \{x+1 : x\le 1\}=(-\infty,2].
    (Verificação rápida: se y\le 2 escolhe-se x=y-1\le 1, então g(x)=y.)
  • Para x>1, g(x)=3. Isso acrescenta o valor 3 à imagem.
União das duas partes:
\operatorname{Im}(g)=(-\infty,2]\cup\{3\}.

Passo 8

Breves observações finais e incentivo: temos uma função simples mas que exemplifica bem descontinuidade por salto e como isso afeta derivabilidade — lembra sempre: sem continuidade no ponto não adianta esperar derivada finita ali. Você já fez a parte mais difícil; confere só os resultados na seção final.

Resposta

\displaystyle \lim_{x\to 1^-}g(x)=2
\displaystyle \lim_{x\to 1^+}g(x)=3
\displaystyle g(1)=2
g é descontínua em x=1 (salto) e contínua em todo x\neq 1
g'(x)=1 para x<1; g'(x)=0 para x>1; g não é derivável em x=1
\operatorname{Im}(g)=(-\infty,2]\cup\{3\}

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