Determine as assíntotas horizontais da curva f(x)=\sqrt{x^{2}+a x}-\sqrt{x^{2}+b x}.

Passo 1

O enunciado pede as assíntotas horizontais da função
f(x)=\sqrt{x^{2}+a x}-\sqrt{x^{2}+b x},
isto é, os valores de \displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)
e \displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x). Para isso vamos usar expansões assintóticas de \sqrt{x^{2}+p\,x} quando |x| é grande.

Passo 2

Para x\to+\infty, escrevemos
\sqrt{x^{2}+a x} = x\,\sqrt{1+\frac{a}{x}} = x\Bigl(1+\frac{a}{2x}+O\bigl(x^{-2}\bigr)\Bigr) = x+\frac{a}{2}+O\bigl(x^{-1}\bigr),
e analogamente
\sqrt{x^{2}+b x} = x+\frac{b}{2}+O\bigl(x^{-1}\bigr).
Subtraindo, vem
f(x) =\Bigl(x+\frac{a}{2}+O(x^{-1})\Bigr) -\Bigl(x+\frac{b}{2}+O(x^{-1})\Bigr) =\frac{a-b}{2}+O\bigl(x^{-1}\bigr).

Passo 3

Logo
\lim_{x\to+\infty}f(x)=\frac{a-b}{2},
o que dá a assíntota horizontal
y=\frac{a-b}{2} \quad(x\to+\infty).

Passo 4

Para x\to-\infty, usamos |x|=-x. Assim
\sqrt{x^{2}+a x} =|x|\sqrt{1+\frac{a}{x}} =-x\Bigl(1+\frac{a}{2x}+O(x^{-2})\Bigr) =-x-\frac{a}{2}+O(x^{-1}),
e
\sqrt{x^{2}+b x} =-x-\frac{b}{2}+O(x^{-1}).
Subtraindo, obtemos
f(x) =\Bigl(-x-\frac{a}{2}+O(x^{-1})\Bigr) -\Bigl(-x-\frac{b}{2}+O(x^{-1})\Bigr) =\frac{b-a}{2}+O\bigl(x^{-1}\bigr).

Passo 5

Portanto
\lim_{x\to-\infty}f(x)=\frac{b-a}{2},
que corresponde à assíntota horizontal
y=\frac{b-a}{2} \quad(x\to-\infty).

Resposta

As assíntotas horizontais são
y=\frac{a-b}{2}\quad(x\to+\infty) \quad\text{e}\quad y=\frac{b-a}{2}\quad(x\to-\infty).

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