Q3- Determine os autovalores e os autovetores (normalizados) associados ao seguinte operador:
Passo 1
O enunciado pede os autovalores e os autovetores normalizados de
O conteúdo é diagonalização de matriz simétrica real via polinômio característico, solução de sistemas lineares e normalização de vetores.
Passo 2
Para facilitar, defina
Os autovalores
mu de
M satisfazem
Expandindo pela primeira linha,
Passo 3
O polinômio característico de
M é
portanto
mu1 = raiz2, mu2=0, mu3=-raiz2
ComoA = M/raiz2, os autovalores de
A são
Como
Passo 4
Para
lambda1=1 resolvemos
(A-I)v=0 , ou equivalentemente
(M-raiz2I)v=0 .
O sistema dá
O sistema dá
que leva a
v1=v3 e
v2=raiz2,v1 .
Escolhemosv^(1)=(1,raiz2,1) .
O comprimento é
Escolhemos
O comprimento é
logo o autovetor normalizado é
Passo 5
Para
lambda2=0 resolvemos
Av=0 , ou
Mv=0 , que dá
Tomando
v^(2)=(1,0,-1) , seu comprimento é
raiz2 , e o normalizado fica
Passo 6
Para
lambda3=-1 resolvemos
(A+I)v=0 , ou
(M+raiz2I)v=0 .
Isso leva a
Isso leva a
de onde
v1=v3 e
v2=-raiz2,v1 .
Escolhendov^(3)=(1,-raiz2,1) e normalizando (
|v^(3)|=2 ), obtém-se
Escolhendo
Resposta
Autovalores:
Autovetores normalizados: