Q3- Determine os autovalores e os autovetores (normalizados) associados ao seguinte operador:
A=1raiz2[ccc 0 & 1 & 0 1 & 0 & 1 0 & 1 & 0 ]

Passo 1

O enunciado pede os autovalores e os autovetores normalizados de
A=1raiz2 0 & 1 & 0 1 & 0 & 1 0 & 1 & 0
O conteúdo é diagonalização de matriz simétrica real via polinômio característico, solução de sistemas lineares e normalização de vetores.

Passo 2

Para facilitar, defina
M = raiz2,A = 0 & 1 & 0 1 & 0 & 1 0 & 1 & 0
Os autovalores mu de M satisfazem
det(M - mu I) = -mu & 1 & 0 1 & -mu & 1 0 & 1 & -mu
Expandindo pela primeira linha,
det(M - mu I) = -mu-mu & 11 & -mu -11 & 10 & -mu = -mu(mu^2 -1)-1(-mu) = -mu^3 +2mu

Passo 3

O polinômio característico de M é
-mu^3 +2mu = -mu(mu^2 -2)=0,
portanto
mu1 = raiz2, mu2=0, mu3=-raiz2
Como A = M/raiz2, os autovalores de A são
lambdai = muiraiz2 ;Longrightarrow; lambda1 = 1, lambda2 = 0, lambda3 = -1

Passo 4

Para lambda1=1 resolvemos (A-I)v=0, ou equivalentemente (M-raiz2I)v=0.
O sistema dá
v2 = raiz2,v1, v1+v3 = raiz2,v2, v2 = raiz2,v3
que leva a v1=v3 e v2=raiz2,v1.
Escolhemos v^(1)=(1,raiz2,1).
O comprimento é
|v^(1)| = raiz1+2+1=2,
logo o autovetor normalizado é
hat v^(1) = l(tfrac12,tfracraiz22,tfrac12r)

Passo 5

Para lambda2=0 resolvemos Av=0, ou Mv=0, que dá
v2 = 0, v1 + v3 = 0
Tomando v^(2)=(1,0,-1), seu comprimento é raiz2, e o normalizado fica
hat v^(2) = l(tfrac1raiz2,0,-tfrac1raiz2r)

Passo 6

Para lambda3=-1 resolvemos (A+I)v=0, ou (M+raiz2I)v=0.
Isso leva a
v2 = -raiz2,v1, v1+v3 = -raiz2,v2, v2 = -raiz2,v3,
de onde v1=v3 e v2=-raiz2,v1.
Escolhendo v^(3)=(1,-raiz2,1) e normalizando ( |v^(3)|=2), obtém-se
hat v^(3) = l(tfrac12,-tfracraiz22,tfrac12r)

Resposta

Autovalores:
lambda1 = 1, lambda2 = 0, lambda3 = -1
Autovetores normalizados:
hat v^(1) = l(tfrac12,tfracraiz22,tfrac12r), hat v^(2) = l(tfrac1raiz2,0,-tfrac1raiz2r), hat v^(3) = l(tfrac12,-tfracraiz22,tfrac12r)

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