Determine os autovalores e autovetores das transformações lineares:
T: P_{2} \rightarrow P_{2} tal que T\left(a t^{2}+b t+c\right)=2 a t+b.

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear T\colon P_{2}\to P_{2} em que, para um polinômio genérico
p(t)=a\,t^{2}+b\,t+c,
temos
T\bigl(a\,t^{2}+b\,t+c\bigr)=2a\,t+b.
Queremos encontrar os autovalores \lambda e os autovetores não nulos p(t) tais que
T\bigl(p(t)\bigr)=\lambda\,p(t).
O conteúdo aqui é resolver a equação de autovalor em P_{2} comparando coeficientes.

Passo 2

Seja p(t)=a\,t^{2}+b\,t+c. A condição T(p)=\lambda p fica
T\bigl(a\,t^{2}+b\,t+c\bigr)=2a\,t+b \quad\overset{!}{=}\quad \lambda\bigl(a\,t^{2}+b\,t+c\bigr) =\lambda\,a\,t^{2}+\lambda\,b\,t+\lambda\,c.
Agora igualamos coeficiente a coeficiente nos termos t^{2}, t e constante:

Passo 3

Comparando os termos, obtemos o sistema
\begin{cases} \text{coef. de } t^{2}: & 0 = \lambda \cdot a, \\[6pt] \text{coef. de } t: & 2a = \lambda \cdot b, \\[6pt] \text{termo constante:} & b = \lambda \cdot c. \end{cases}]

Passo 4

Primeiro vemos para \lambda\neq0. Da primeira equação \lambda\,a=0 segue a=0.
Então da segunda 2a=\lambda\,b vem b=0.
E da terceira b=\lambda\,c 0=\lambda\,c, logo c=0.
Isso só permite a solução trivial (a,b,c)=(0,0,0), que não conta como autovetor.
Conclusão: não há autovetores para \lambda\neq0.

Passo 5

Agora \lambda=0\). O sistema vira \[\begin{cases} 0=0\cdot a\quad(\text{sempre}),\\\\ 2a=0\cdot b\implies a=0,\\\ b=0\cdot c\implies b=0. \end{cases}
Aqui c\] fica livre. Logo os polinômios \(p(t)=0\cdot t^{2}+0\cdot t+c=c (constantes não nulas) satisfazem
T\text{(c)}=0 =0\cdot c,
sendo autovetores associados a \lambda=0.

Resposta

O único autovalor é \lambda=0.
O respectivo espaço próprio é formado pelos polinômios constantes, isto é
\bigl\{c\mid c\neq0\bigr\} =\mathrm{span}\{1\}.

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