Determine os autovalores e autovetores das transformações lineares: T: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{4} tal que T(x, y, z, t)=(x+y+z+t, y+t, 3 z, 2 t).
Passo 1
O enunciado pede os autovalores e autovetores da transformação linear T\colon\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^4 dada por
T(x,y,z,t) = (x+y+z+t,\;y+t,\;3z,\;2t).
O que vamos precisar é (1) a matriz de T na base canônica, (2) o polinômio característico \chi_A(\lambda) e os autovalores \lambda, e (3) para cada \lambda resolver (A-\lambda I)v=0 para obter os autovetores.
que dá t=0, y=0, x = \tfrac12 z. Tomando z=2 obtemos o autovetor (1,0,2,0).]
Resposta
Os autovalores e autovetores de T são: \displaystyle \lambda=1 com espaço próprio E_{1}=\Span\{(1,0,0,0)\} \displaystyle \lambda=2 com espaço próprio E_{2}=\Span\{(2,1,0,1)\} \displaystyle \lambda=3 com espaço próprio E_{3}=\Span\{(1,0,2,0)\}.