Determine os autovalores e autovetores das transformações lineares:
T: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{4} tal que T(x, y, z, t)=(x+y+z+t, y+t, 3 z, 2 t).

Passo 1

O enunciado pede os autovalores e autovetores da transformação linear
T\colon\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^4 dada por
T(x,y,z,t) = (x+y+z+t,\;y+t,\;3z,\;2t).
O que vamos precisar é (1) a matriz de T na base canônica, (2) o polinômio característico \chi_A(\lambda) e os autovalores \lambda, e (3) para cada \lambda resolver (A-\lambda I)v=0 para obter os autovetores.

Passo 2

Na base canônica \{e_1,e_2,e_3,e_4\} temos
T(e_1) = (1,0,0,0),\quad T(e_2) = (1,1,0,0),\quad T(e_3) = (1,0,3,0),\quad T(e_4) = (1,1,0,2).
Logo a matriz A de T é
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\[6pt] 0 & 1 & 0 & 1 \\[3pt] 0 & 0 & 3 & 0 \\[3pt] 0 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}.]

Passo 3

Como A é triangular superior, o polinômio característico é
\chi_A(\lambda) = \det(A - \lambda I) = (1-\lambda)\,(1-\lambda)\,(3-\lambda)\,(2-\lambda) = (1-\lambda)^2\,(3-\lambda)\,(2-\lambda).
Os autovalores são
\lambda_1 = 1\quad(\text{multiplicidade algébrica }2),\quad \lambda_2 = 3,\quad \lambda_3 = 2.é

Passo 4

Para \lambda=1 resolvemos
(A - I)v = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 & 1 \\[3pt] 0 & 0 & 0 & 1 \\[3pt] 0 & 0 & 2 & 0 \\[3pt] 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\t\end{pmatrix} = 0.
Dessas equações vem t=0, z=0, y=0, e x livre. Assim o espaço próprio de \lambda=1 é
E_{1} = \Span\{(1,0,0,0)\}.]

Passo 5

Para \lambda=2 temos
A - 2I = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 1 & 1 \\[3pt] 0 & -1 & 0 & 1 \\[3pt] 0 & 0 & 1 & 0 \\[3pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},
que leva a z=0, y=t, x = y + t = 2t. Tomando t=1 obtemos o autovetor (2,1,0,1).
Para \lambda=3 temos
A - 3I = \begin{pmatrix} -2 & 1 & 1 & 1 \\[3pt] 0 & -2 & 0 & 1 \\[3pt] 0 & 0 & 0 & 0 \\[3pt] 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix},
que dá t=0, y=0, x = \tfrac12 z. Tomando z=2 obtemos o autovetor (1,0,2,0).]

Resposta

Os autovalores e autovetores de T são:
\displaystyle \lambda=1 com espaço próprio E_{1}=\Span\{(1,0,0,0)\}
\displaystyle \lambda=2 com espaço próprio E_{2}=\Span\{(2,1,0,1)\}
\displaystyle \lambda=3 com espaço próprio E_{3}=\Span\{(1,0,2,0)\}.

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