Determine uma base e calcule a dimensão para os espaços vetoriais abaixo:
.
Passo 1
O enunciado dá o subconjunto
definido por uma restrição linear:
O que é pedido:
- Determinar uma base de
. - Calcular a dimensão de
.
Informações relevantes fornecidas:
- O espaço ambiente é
. - Há exatamente uma equação linear relacionando as coordenadas:
. - Não há outras restrições.
Passo 2
Entendendo a condição e escolhendo parâmetros (método prático para fazer base).
A equação liga
a
e
. Isso significa que, ao escolher livremente
,
e
, o valor de
fica determinado. Então é natural tomar
como parâmetros livres.
A equação
Faço a notação dos parâmetros:
Então qualquer vetor de
tem a forma
Passo 3
Escrever o vetor como combinação linear dos vetores associados aos parâmetros.
Agora desmembro em termos de
:
Agora desmembro
Ou seja, todo vetor de
é uma combinação linear dos três vetores
Isto mostra que
gera (spans)
: qualquer elemento de
é somatório dos parâmetros multiplicando esses vetores.
Passo 4
Verificar que os vetores geradores são linearmente independentes.
Para testar independência, suponha que exista combinação linear nula:
Para testar independência, suponha que exista combinação linear nula:
Escrevendo por componentes, com
,
,
, obtemos:
primeira componente: .
segunda componente: .
terceira componente: .
quarta componente: .
primeira componente:
segunda componente:
terceira componente:
quarta componente:
Da segunda componente vem
. Da quarta vem
. Da terceira vem
. Logo
é a única solução. Portanto
são linearmente independentes.
Passo 5
Concluir que os vetores formam uma base e obter a dimensão.
Já mostramos que gera
(spanning) e que é linearmente independente. Essas duas propriedades definem uma base. O número de vetores da base é a dimensão do espaço. Assim a dimensão de
é
.
Já mostramos que
Observação útil para a prova: uma maneira rápida de ver a dimensão é notar que temos
sujeito a uma única restrição linear independente (
), então o núcleo dessa restrição tem dimensão
. Isso coincide com o resultado acima.
Resposta
Base: