Determine uma base e calcule a dimensão para os espaços vetoriais abaixo:
V=\left\{(x, y, z, w) \in \mathbb{R}^{4} ; x=y+w\right\}.

Passo 1

O enunciado dá o subconjunto V\subset\mathbb{R}^{4} definido por uma restrição linear:
V=\{(x,y,z,w)\in\mathbb{R}^{4}\\ ;\\ x=y+w\}.
O que é pedido:
  • Determinar uma base de V.
  • Calcular a dimensão de V.
Informações relevantes fornecidas:
  • O espaço ambiente é \mathbb{R}^{4}.
  • Há exatamente uma equação linear relacionando as coordenadas: x=y+w.
  • Não há outras restrições.

Passo 2

Entendendo a condição e escolhendo parâmetros (método prático para fazer base).
A equação x=y+w liga x a y e w. Isso significa que, ao escolher livremente y, z e w, o valor de x fica determinado. Então é natural tomar y,z,w como parâmetros livres.
Faço a notação dos parâmetros:
\text{seja } s=y,\quad t=z,\quad u=w.
Então qualquer vetor de V tem a forma
(x,y,z,w)=(y+w,y,z,w)=(s+u,s,t,u).

Passo 3

Escrever o vetor como combinação linear dos vetores associados aos parâmetros.
Agora desmembro (s+u,s,t,u) em termos de s,t,u:
(s+u,s,t,u)=s(1,1,0,0)+t(0,0,1,0)+u(1,0,0,1).
Ou seja, todo vetor de V é uma combinação linear dos três vetores
v_1=(1,1,0,0),\qquad v_2=(0,0,1,0),\qquad v_3=(1,0,0,1).
Isto mostra que \{v_1,v_2,v_3\} gera (spans) V: qualquer elemento de V é somatório dos parâmetros multiplicando esses vetores.

Passo 4

Verificar que os vetores geradores são linearmente independentes.
Para testar independência, suponha que exista combinação linear nula:
\alpha v_1+\beta v_2+\gamma v_3=(0,0,0,0).
Escrevendo por componentes, com v_1=(1,1,0,0), v_2=(0,0,1,0), v_3=(1,0,0,1), obtemos:
primeira componente: \alpha+\gamma=0.
segunda componente: \alpha=0.
terceira componente: \beta=0.
quarta componente: \gamma=0.
Da segunda componente vem \alpha=0. Da quarta vem \gamma=0. Da terceira vem \beta=0. Logo \alpha=\beta=\gamma=0 é a única solução. Portanto v_1,v_2,v_3 são linearmente independentes.

Passo 5

Concluir que os vetores formam uma base e obter a dimensão.
Já mostramos que \{v_1,v_2,v_3\} gera V (spanning) e que é linearmente independente. Essas duas propriedades definem uma base. O número de vetores da base é a dimensão do espaço. Assim a dimensão de V é 3.
Observação útil para a prova: uma maneira rápida de ver a dimensão é notar que temos \mathbb{R}^4 sujeito a uma única restrição linear independente ( x-y-w=0 ), então o núcleo dessa restrição tem dimensão 4-1=3. Isso coincide com o resultado acima.

Resposta

Base: \{(1,1,0,0),(0,0,1,0),(1,0,0,1)\}
\dim(V)=3

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