Questão aplicada à área de atuação (Eng. Ambiental e Sanitária):
Atividade de revisão Item 34 - Uma tubulação subterrânea segue a reta (x, y)=(2,1)+t(3,4). Um ponto de inspeção está em (8,10). Calcule a distância desse ponto à tubulação.

Passo 1

O enunciado dá uma reta e um ponto e pede a distância entre o ponto e a tubulação (reta). As informações são:
  • A reta é dada parametricamente por (x,y)=(2,1)+t(3,4). Isso significa que um ponto qualquer da reta é A+(t)v, onde A=(2,1) é um ponto da reta e v=(3,4) é o vetor diretor.
  • O ponto de inspeção é P=(8,10).
    O que se pede: calcular a distância do ponto P até a reta dada.

Passo 2

Ideia matemática que vamos usar (explicada devagarinho): a distância de um ponto P a uma reta que passa por A com vetor diretor v é a medida do segmento perpendicular do ponto à reta. Uma fórmula muito prática é
\text{dist}(P,\text{reta})=\frac{\bigl|\,(P-A)\times v\,\bigr|}{\|v\|},
onde:
  • P-A é o vetor que vai de A para P;
  • \times aqui, em duas dimensões, significa o determinante que dá a “área orientada” do paralelogramo formado por P-A e v; em coordenadas (x_1,y_1) e (x_2,y_2) esse determinante é x_1y_2-y_1x_2;
  • \|v\| é o comprimento (norma) do vetor v, dado por \|v\|=\sqrt{v_x^2+v_y^2}.
    Explicação intuitiva: o módulo do determinante \bigl|(P-A)\times v\bigr| é a área do paralelogramo com lados P-A e v. Essa área é igual a base vezes altura, ou seja, \|v\|\times (altura), e a altura é exatamente a distância buscada. Então dividir a área por \|v\| dá a distância.

Passo 3

Aplicando as definições ao nosso caso:
  • Escolhemos A=(2,1) (peguei da equação da reta) e v=(3,4) (diretor da reta).
  • Calculamos o vetor P-A:
P-A=(8,10)-(2,1)=(6,9).
  • Calculamos o determinante (produto “cruzado” em 2D):
(P-A)\times v = \det\begin{pmatrix}6 & 9\\[2pt] 3 & 4\end{pmatrix}=6\cdot4-9\cdot3=24-27=-3.
Tomamos o valor absoluto para a área:
\bigl|(P-A)\times v\bigr|=|{-3}|=3.]

Passo 4

Agora calculamos a norma de v:
\|v\|=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5.
Portanto a distância vale
\text{dist}=\frac{3}{5}=\frac{3}{5}=0,6.

Passo 5

Para fixar e mostrar outra maneira (útil na prova): usar projeção ortogonal. A ideia é encontrar o ponto F da reta mais próximo de P (pé da perpendicular). O parâmetro t^\ast do pé é dado por
t^\ast=\frac{(P-A)\cdot v}{\|v\|^2},
onde o produto escalar (P-A)\cdot v mede quanto P-A “projeta” na direção v.
  • Calculando o produto escalar: (P-A)\cdot v=6\cdot3+9\cdot4=18+36=54.
  • Calculando \|v\|^2=25.
    Logo
t^\ast=\frac{54}{25}.
O pé F tem coordenadas
F=A+t^\ast v=\Bigl(2+\frac{54}{25}\cdot3,\;1+\frac{54}{25}\cdot4\Bigr) =\Bigl(\frac{212}{25},\;\frac{241}{25}\Bigr).
O vetor de F para P é
P-F=\Bigl(8-\frac{212}{25},\;10-\frac{241}{25}\Bigr)=\Bigl(-\frac{12}{25},\;\frac{9}{25}\Bigr).
A norma desse vetor é
\|P-F\|=\sqrt{\Bigl(-\frac{12}{25}\Bigr)^2+\Bigl(\frac{9}{25}\Bigr)^2} =\sqrt{\frac{144+81}{625}}=\sqrt{\frac{225}{625}}=\frac{15}{25}=\frac{3}{5}=0,6.
Confere com o resultado anterior — ótimo sinal de que está tudo certo.

Passo 6

Resumo e dica para a prova: sempre que tiver uma reta em forma paramétrica (x,y)=A+t v e um ponto P, calcule P-A, use o determinante (P-A)\times v e divida por \|v\|. Isso é rápido e evita cálculos de projeção em muitos casos. Força aí — com método fixo e prática esses cálculos viram rotina.

Resposta

\dfrac{3}{5}=0,6

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