Determine uma base e a dimensão de cada um dos subespaços vetoriais abaixo.
(v) S=\left\{(x, y, z, w, t) \in \mathbb{R}^{5}: x+y-a z+3 w+t=0\right. e \left.2 x-y+z+2 a w+5 t=0\right\}, sendo a \in \mathbb{R}.

Passo 1

O subespaço S\subset\mathbb{R}^5\) é definido por dois sistemas lineares homogêneos em \((x,y,z,w,t)\): \[\begin{cases} x+y -a z +3w +t =0,\\\\ 2x -y +z +2a w +5t =0.
O conteúdo é Álgebra Linear: vamos determinar a classificação das equações (posto), a dimensão de (S] e depois um sistema de vetores geradores (base).

Passo 2

Como são duas equações lineares homogêneas em cinco incógnitas, a dimensão de S será
\dim S = 5 - \mathrm{posto}(\,\text{sistema}\,).
Verificamos que uma equação não é múltiplo escalar da outra (ver coeficiente de x: 1 e 2), logo o posto é 2. Portanto
\dim S = 5 - 2 = 3.

Passo 3

Escolhemos variáveis livres z,\,w,\,t. Das equações
x + y = a z - 3w - t,
2x - y = -\,z - 2a w -5t,
somamos para obter 3x:
3x = (a-1)z - (3+2a)w -6t \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{(a-1)z - (3+2a)w -6t}{3}.
Em seguida y = (a z -3w -t) - x, de onde
y = \frac{(2a+1)z + (2a-6)w +3t}{3}.

Passo 4

Escrevendo (x,y,z,w,t) como combinação linear de (z,w,t), temos
(x,y,z,w,t) = z\Bigl(\tfrac{a-1}{3},\,\tfrac{2a+1}{3},\,1,\,0,\,0\Bigr) + w\Bigl(-\tfrac{3+2a}{3},\,\tfrac{2a-6}{3},\,0,\,1,\,0\Bigr) + t\bigl(-2,\,1,\,0,\,0,\,1\bigr).
Para eliminar frações, podemos escalar os dois primeiros vetores por 3:
v_1=(a-1,\,2a+1,\,3,\,0,\,0),\quad v_2=(-(2a+3),\,2a-6,\,0,\,3,\,0),\quad v_3=(-2,\,1,\,0,\,0,\,1).
Esses três vetores pertencem a S e são linearmente independentes.

Resposta

Uma base de S é
\{\,v_1,\;v_2,\;v_3\} \quad\text{com}\quad v_1=(a-1,\,2a+1,\,3,\,0,\,0),\; v_2=(-(2a+3),\,2a-6,\,0,\,3,\,0),\; v_3=(-2,\,1,\,0,\,0,\,1).
E \dim S = 3.

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