Determine uma base e a dimensão de cada um dos subespaços vetoriais abaixo.
(ii) S=\left\{A \in M_{2}(\mathbb{R}): A\left[\begin{array}{cc}1 & -2 \\\\ 1 & 3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1 & -2 \\\\ 1 & 3\end{array}\right] A\right\}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma base e a dimensão do subespaço
S = \{A\in M_{2}(\mathbb{R}) : A\,B = B\,A\},
onde
B = \begin{pmatrix}1 & -2 \\\\ 1 & 3\end{pmatrix}.
O conteúdo é o centralizador de uma matriz em M_{2}(\mathbb{R}). Para resolver, vamos parametrizar uma matriz genérica A, impor AB=BA e resolver o sistema linear resultante.

Passo 2

Seja
A = \begin{pmatrix}a & b \\\ c & d\end{pmatrix}.
Vamos calcular em forma de matriz os produtos AB e BA.

Passo 3

O produto
A\,B = \begin{pmatrix}a & b \\\ c & d\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & -2 \\\\ 1 & 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a + b & -2a + 3b \\\ c + d & -2c + 3d \end{pmatrix}
e
B\,A = \begin{pmatrix}1 & -2 \\\\ 1 & 3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a & b \\\ c & d\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a - 2c & b - 2d \\\ a + 3c & b + 3d \end{pmatrix}.

Passo 4

Igualando as entradas de AB e BA obtemos o sistema
\begin{cases} a + b = a - 2c,\\\\ -2a + 3b = b - 2d,\\\ c + d = a + 3c,\\\\ -2c + 3d = b + 3d. \end{cases}
Dessas equações seguem duas condições independentes:
b = -2c \quad\text{e}\quad d = a + 2c.

Passo 5

Como só há dois parâmetros livres a e c, podemos escrever
A = \begin{pmatrix}a & -2c \\\ c & a+2c\end{pmatrix} = a\begin{pmatrix}1 & 0 \\\\ 0 & 1\end{pmatrix} + c\begin{pmatrix}0 & -2 \\\\ 1 & 2\end{pmatrix}.
Logo, uma base natural de S é
\Bigl\{ I = \begin{pmatrix}1 & 0 \\\\ 0 & 1\end{pmatrix}, \;B - I = \begin{pmatrix}0 & -2 \\\\ 1 & 2\end{pmatrix} \Bigr\}.

Passo 6

Como temos dois vetores independentes na base, a dimensão de S é 2.

Resposta

Uma base de S é
\left\{ \begin{pmatrix}1 & 0 \\\\ 0 & 1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0 & -2 \\\\ 1 & 2\end{pmatrix} \right\},
e \dim(S) = 2.

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